Chủ đề này có 4 trả lời

[duyanh782014]

Chứng minh nếu a,b,c là các số dương và a+b+c=1 thì $(a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2}+(c+\frac{1}{c})^{2}> 33$

[HoangVienDuy]

áp dụng bđt $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3} và \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}$

$P\geq \frac{((a+b+c)+\sum \frac{1}{a})^{2}}{3}\geq \frac{(1+\frac{9}{a+b+c})^{2}}{3}=100/3> 33$ 

hiểu thì like

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangVienDuy: 06-04-2015 - 20:17

[duyanh782014]

$P\geq \frac{((a+b+c)+\sum \frac{1}{a})^{2}}{3}\geq \frac{(1+\frac{9}{a+b+c})^{2}}{3}=100/3> 33$

Mình học lớp 8 nên bạn trả lời dễ hiểu hơn đi

[Dinh Xuan Hung]

Chứng minh nếu a,b,c là các số dương và a+b+c=1 thì $(a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2}+(c+\frac{1}{c})^{2}> 33$

$(a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2}+(c+\frac{1}{c})^{2}= a^2+b^2+c^2+2+2+2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=(a^2+b^2+c^2)+\sum \frac{1}{a^2}+6$

AM-GM:

$1=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow abc\leq \frac{1}{27}$

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(abc)^2}}\geq 27$

Lại có: $a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}$

Cộng các BĐT $\sum \frac{1}{a^2}+\sum a^2+6\geq 27+6+\frac{1}{3}=\frac{100}{3}> 33$

[Nguyen Minh Hai]

Chứng minh nếu a,b,c là các số dương và a+b+c=1 thì $(a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2}+(c+\frac{1}{c})^{2}> 33$

Áp dụng C-S:

$\sum (a+\frac{1}{a})^2 \geq \frac{(a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}{3}\geq \frac{(a+b+c+\frac{9}{a+b+c})^2}{3}=\frac{100}{3}>33$