Chủ đề này có 4 trả lời

[hanh7a2002123]

Chứng minh rằng $19^{19}+69^{69}$ chia hết cho 44

 

Chú ý:  Cách gõ công thức Toán.

             Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 08-04-2015 - 03:09

[Hoangtheson2611]

$19^{5}\equiv -1 (mod 44)=> 19^{19}\equiv -1^{3} . 19^{4} \equiv -37 \equiv 7 ( mod 44)$

$69^{5}\equiv 1 (mod44)=> 69^{69}\equiv 1^{13}.69^{4} \equiv 37 (mod44)$

=>$19^{19}+69^{69} \vdots 44$

[nangcuong8e]

Chứng minh rằng $19^{19}+69^{69}$ chia hết cho 44

Ta có: $A = 19^{19} +69^{69} =(69^{69} +19^{69}) -(19^{69} -19^{19})$
Do $69^{69} +19^{69} \vdots (69+19) =88$ nên $69^{69} +19^{69} \vdots 44$
 Ta cần chứng minh $B= 19^{69} -19^{19} \vdots 44$, thật vậy:

$B= 19^{69} +19^{19} =19^{19}(19^{50} -1)$
 Vì $19$ lẻ nên $19^2 \equiv 1$ (mod $4$) $\Rightarrow 19^{50} \equiv 1$ (mod $4$) $\Rightarrow 19^{50} -1 \equiv 0$ (mod $4$) hay $19^{50} -1 \vdots 4$ (1)

Lại có: $19 \equiv -3$ (mod 11) $\Rightarrow 19^{50} \equiv 3^{50}$ (mod $11$) mà $3^5 \equiv 1$ (mod $11$) hay $3^{50} \equiv 1$ (mod $11$) nên $19^{50} \equiv 1$ (mod $11$)
$\Rightarrow 19^{50} -1 \vdots 11$ (2)
 TỪ (1),(2) suy ra $19^{69} -19^{19} \vdots 44$ (do $(11;4) =1$)
$\Rightarrow A \vdots 44$

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nangcuong8e: 07-04-2015 - 21:47

[Hoangtheson2611]

Ta có: $A = 19^{19} +69^{69} =(69^{69} +19^{69}) -(19^{69} -19^{19})$
Do $69^{69} +19^{69} \vdots (69+19) =88$ nên $69^{69} +19^{69} \vdots 44$
 Ta cần chứng minh $B= 19^{69} -19^{19} \vdots 44$, thật vậy:

$B= 19^{69} +19^{19} =19^{19}(19^{50} -1)$
 Vì $19$ lẻ nên $19^2 \equiv 1$ (mod $4$) $\Rightarrow 19^{50} \equiv 1$ (mod $4$) $\Rightarrow 19^{50} -1 \equiv 0$ (mod $4$) hay $19^{50} -1 \vdots 4$ (1)

Lại có: $19^{50} \equiv 3^{50}$ (mod $11$) mà $3^5 \equiv 1$ (mod $11$) hay $3^{50} \equiv 1$ (mod $11$) nên $19^{50} \equiv 1$ (mod $11$)
$\Rightarrow 19^{50} -1 \vdots 11$ (2)
 TỪ (1),(2) suy ra $19^{69} -19^{19} \vdots 44$ (do $(11;4) =1$)
$\Rightarrow A \vdots 44$

 

 

Dòng thứ 4 từ dưới lên phải là đồng dư với $8^{50}$

[nangcuong8e]

 Đã sửa