Câu 19.
Trong MP Oxy tam giác ABC có trọng tâm G$(\frac{7}{3};\frac{4}{3})$ tâm đường tròn nội tiếp là I(2;1), phương trình AB là x-y+1=0, xA<xB. Xác định A,B,C
Phân tích: Đề bài cho ta tọa độ của tâm nội tiếp và phương trình một cạnh nên ta cần khai thác tính chất của tâm nội tiếp là cách đều các cạnh của tam giác.
Ta có thể tham số hóa tọa độ của $A,B$. Sử dụng tọa độ của $G$ để xác định tọa độ của $C$.
Lời giải:
Giả sử $A(a;a+1),B(b;b+1), a<b$. Khi đó, ta có: $C(7-a-b;2-a-b)$.
Phương trình đường thẳng $AC$ là:
$$(1-2a-b)(x-a)+(b+2a-7)(y-a-1)=0$$
Phương trình đường thẳng $BC$ là:
$$(1-a-2b)(x-b)+(2b+a-7)(y-b-1)=0$$
Do $I$ là tâm đường tròn nội tiếp nên:
$$ \begin{align*} & d_{(I;AC)}=d_{(I;BC)}=d_{(I;AB)}=\sqrt{2} \\ \Leftrightarrow & \frac{|(1-2a-b)(2-a)-(b+2a-7)a|}{\sqrt{(1-2a-b)^2+(b+2a-7)^2}}=\frac{|(1-a-2b)(2-b)-(2b+a-7)b|}{\sqrt{(1-a-2b)^2+(2b+a-7)^2}}=\sqrt{2} \\ \Leftrightarrow & \begin{cases}a^2+2ab-6a-2b+8=0 \\ b^2+2ab-2a-6b+8=0 \end{cases} \end{align*}$$
Giải hệ trên ta được $a=0,b=4$. Do đó $A(0;1),B(4;5),C(3;-2)$
Nhận xét:
1) Bài toán này không khó, chỉ là biến đổi đại số bình thường mà không cần phải chứng minh tính chất đặc biệt. Ngày nay, xu hướng ra đề thường yêu cầu thí sinh phải tự khám phá ra một tính chất hình học đặc biệt nào đó rồi mới sử dụng biến đổi đại số.
2) Học sinh cần lưu ý cách sử dụng giả thiết khi đề bài cho tọa độ tâm nội tiếp, trọng tâm.