Chủ đề này có 2 trả lời

[grigoriperelmanlapdi]

Chứng minh với $a,b\geq 0$.Thì $\frac{a^3+b^3}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^3$.Các bạn giải bằng hai cách giùm mình

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi grigoriperelmanlapdi: 09-04-2015 - 12:22

[HoangVienDuy]

Chứng minh với $a,b\geq 0$.Thì $\frac{a^3+b^3}{2}\geq \frac{(a+b)^3}{2}$.Các bạn giải bằng hai cách giùm mình

mình nghĩ đề sai. đề đúng phải là $a^{3}+b^{3}\geq \frac{(a+b)^{3}}{4}$

áp dụng bđt bunyacowsky ta có $(a^{3}+b^{3})(4a+4b)\geq (2a^{2}+2b^{2})\geq (a+b)^{4}\Rightarrow a^{3}+b^{3}\geq \frac{(a+b)^{3}}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangVienDuy: 08-04-2015 - 21:44

[hoanglong2k]

Chứng minh với $a,b\geq 0$.Thì $\frac{a^3+b^3}{2}\geq \frac{(a+b)^3}{2}$.Các bạn giải bằng hai cách giùm mình

Đề sai rồi kìa bạn, phải là chứng minh $\frac{a^3+b^3}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^3$ bạn ạ

Ta có: $Ine\Leftrightarrow 4(a^3+b^3)\geq (a+b)^3$

Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: $a^2+b^2\geq 2ab\Rightarrow a^3+b^3\geq ab(a+b)\Leftrightarrow 3(a^3+b^3)\geq 3ab(a+b)\Leftrightarrow 4(a^3+b^3)\geq (a+b)^3$

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki có:

  $(a^3+b^3)(a+b)\geq (a^2+b^2)^2\geq \left [ \frac{(a+b)^2}{2} \right ]^2\Rightarrow 4(a^3+b^3)\geq (a+b)^3$