Chủ đề này có 5 trả lời

[Thanmi]

Cho phương trình $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+ax+1=0$ có nghiệm. Tìm GTNN của $a^{2}+b^{2}$

 

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

            Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 09-04-2015 - 10:33

[Dinh Xuan Hung]

Cho phương trình $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+ax+1=0$ có nghiệm. Tìm GTNN của $a^{2}+b^{2}$

 

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

            Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

Với $x=0$ không phải là nghiệm

 Chia cả 2 vế của pt cho $x^2$ ta được: $x^2+\frac{1}{x^2}+2+ax+\frac{b}{x}=0\Rightarrow (x^2+\frac{1}{x^2}+2)^2=(ax+\frac{b}{x})^2\leq (a^2+b^2)(x^2+\frac{1}{x^2})\Rightarrow a^2+b^2\geq \frac{(t+2)^2}{t}\geq 8$

[Ngoc Hung]

Cho phương trình $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+ax+1=0$ có nghiệm. Tìm GTNN của $a^{2}+b^{2}$

 

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

            Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

 

Chia 2 vế phương trình cho $x^{2}\neq 0$ được $\left ( x^{2}+\frac{1}{x^{2}} \right )+a\left ( x+\frac{1}{x} \right )+b=0$

Đặt $y=x+\frac{1}{x}\Rightarrow \left | y \right |\geq 2$

Thay vào phương trình ta có $y^{2}-2=-ay-b$

Áp dụng Bunhia được $\left ( a^{2} +b^{2}\right )\left ( y^{2} +1\right )\geq \left ( ay+b \right )^{2}=\left ( y^{2}-2 \right )^{2}\Rightarrow a^{2}+b^{2}\geq \frac{y^{4}-4y^{2}+4}{y^{2}+1}=\frac{y^{4}-4y^{2}+4}{y^{2}+1}-\frac{4}{5}+\frac{4}{5}=\frac{(5y^{2}-4)(y^{2}-4)}{5(y^{2}+1)}\geq \frac{4}{5}$

Dấu "=" xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} \left | y \right | =2& \\ \frac{a}{y}=\frac{b}{1}& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left | x \right |=1 & \\ a=by & \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 09-04-2015 - 10:52

[Tuan Hoang Nhat]

Với $x=0$ không phải là nghiệm

 Chia cả 2 vế của pt cho $x^2$ ta được: $x^2+\frac{1}{x^2}+2+ax+\frac{b}{x}=0\Rightarrow (x^2+\frac{1}{x^2}+2)^2=(ax+\frac{b}{x})^2\leq (a^2+b^2)(x^2+\frac{1}{x^2})\Rightarrow a^2+b^2\geq \frac{(t+2)^2}{t}\geq 8$

Bạn sai rồi kìa

[Tuan Hoang Nhat]

câu này đã có ở đây bạn:

http://diendantoanho...-gia-2014-2015/

[Thanmi]

Chia 2 vế phương trình cho $x^{2}\neq 0$ được $\left ( x^{2}+\frac{1}{x^{2}} \right )+a\left ( x+\frac{1}{x} \right )+b=0$

Đặt $y=x+\frac{1}{x}\Rightarrow \left | y \right |\geq 2$

Thay vào phương trình ta có $y^{2}-2=-ay-b$

Áp dụng Bunhia được $\left ( a^{2} +b^{2}\right )\left ( y^{2} +1\right )\geq \left ( ay+b \right )^{2}=\left ( y^{2}-2 \right )^{2}\Rightarrow a^{2}+b^{2}\geq \frac{y^{4}-4y^{2}+4}{y^{2}+1}=\frac{y^{4}-4y^{2}+4}{y^{2}+1}-\frac{4}{5}+\frac{4}{5}=\frac{(5y^{2}-4)(y^{2}-4)}{5(y^{2}+1)}\geq \frac{4}{5}$

Dấu "=" xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} \left | y \right | =2& \\ \frac{a}{y}=\frac{b}{1}& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left | x \right |=1 & \\ a=by & \end{matrix}\right.$

Cảm ơn bạn nhiều nha.