Chủ đề này có 1 trả lời

[Dung Du Duong]

Cho các số nguyên dương phân biệt $a_{1},...,a_{n}$.

CMR: $\sum_{k=1}^{n}\frac{a_{k}}{k^{2}} \geqslant \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$

[Mosses William Tran]

Các anh cho em xin đóng góp lời giải bằng phương pháp bất đẳng thức sắp thứ tự dãy

 

Sắp xếp lại dãy $a_{1}, a_{2},...,a_{n}$ theo thứ tự tăng dần ta được dãy $b_{1}<b_{2}<...<b_{n}$ . 

Xét dãy $\frac{1}{1^{2}}>\frac{1}{2^{2}}>...>\frac{1}{n^{2}}$

Theo BĐT dãy sắp thứ tự, ta có $\sum_{k=1}^{n}\frac{a_{k}}{k^{2}} \geq \sum_{k=1}^{n}\frac{b_{k}}{k^2}$

Do $(b_{k})$ là dãy số nguyên tăng và phân biệt nên ta có $b_{k} \geq k$ . 

Suy ra $\sum \frac{b_{k}}{k^{2}} \geq \sum \frac{k}{k^{2}}=\sum \frac{1}{k}$

Vậy ta có điều phải chứng minh