4 replies to this topic

[butbimauxanh1629]

Đề bài: Cho a, b, c >0. Chứng minh: $\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Edited by butbimauxanh1629, 09-04-2015 - 23:26.

[nangcuong8e]

Đề bài: Cho a, b, c >0. Chứng minh: $\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Ta có: $\frac{c}{a^2} +\frac{a}{b^2} +\frac{a}{b^2} +\frac{1}{c} \geq \frac{4}{b}$

Tương tự, ta cũng có: $\frac{b}{c^2} +\frac{c}{a^2} +\frac{c}{a^2} +\frac{1}{b} \geq \frac{4}{a}$

                                    $\frac{a}{b^2} +\frac{b}{c^2} +\frac{b}{c^2} +\frac{1}{a} \geq \frac{4}{c}$

$\Rightarrow 3.(\frac{a}{b^2} +\frac{b}{c^2} +\frac{c}{a^2}) +\frac{1}{a} +\frac{1}{b} +\frac{1}{c} \geq 4.(\frac{1}{a} +\frac{1}{b} +\frac{1}{c})$

$\Rightarrow 3.(\frac{a}{b^2} +\frac{b}{c^2} +\frac{c}{a^2}) \geq 3.(\frac{1}{a} +\frac{1}{b} +\frac{1}{c}) \Rightarrow$ đpcm

 Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c$

[butbimauxanh1629]

Ta có: $\frac{c}{a^2} +\frac{a}{b^2} +\frac{a}{b^2} +\frac{1}{c} \geq \frac{4}{b}$

Tương tự, ta cũng có: $\frac{b}{c^2} +\frac{c}{a^2} +\frac{c}{a^2} +\frac{1}{b} \geq \frac{4}{a}$

                                    $\frac{a}{b^2} +\frac{b}{c^2} +\frac{b}{c^2} +\frac{1}{a} \geq \frac{4}{c}$

$\Rightarrow 3.(\frac{a}{b^2} +\frac{b}{c^2} +\frac{c}{a^2}) +\frac{1}{a} +\frac{1}{b} +\frac{1}{c} \geq 4.(\frac{1}{a} +\frac{1}{b} +\frac{1}{c})$

$\Rightarrow 3.(\frac{a}{b^2} +\frac{b}{c^2} +\frac{c}{a^2}) \geq 3.(\frac{1}{a} +\frac{1}{b} +\frac{1}{c}) \Rightarrow$ đpcm

 Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c$

Mình chưa hiểu lắm, bạn có thể nói rõ hơn về $\frac{c}{a^2} +\frac{a}{b^2} +\frac{a}{b^2} +\frac{1}{c} \geq \frac{4}{b}$ được không

[Ngoc Hung]

Mình chưa hiểu lắm, bạn có thể nói rõ hơn về $\frac{c}{a^2} +\frac{a}{b^2} +\frac{a}{b^2} +\frac{1}{c} \geq \frac{4}{b}$ được không

 

Áp dụng BĐT CauChy cho 4 số dương $\frac{c}{a^{2}}+\frac{a}{b^{2}}+\frac{a}{b^{2}}+\frac{1}{c}\geq 4\sqrt[4]{\frac{c}{a^{2}}.\frac{a}{b^{2}}.\frac{a}{b^{2}}.\frac{1}{c}}=\frac{4}{b}$

[NNT0607]

Bạn có thể sử dụng phương pháp quy đồng như sau:

$\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}\geqslant \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}= \frac{a}{a^2}+\frac{b}{b^2}+\frac{c}{c^2}$

$\Leftrightarrow a^3c^2+b^3a^2+c^3b^2\geqslant ab^2c^2+ba^2c^2+ca^2b^2$

$\Leftrightarrow a^2c^2(a-b)+b^2a^2(b-c)+c^2b^2(c-a)\geqslant 0$  (*)

Giả sử: $a\geqslant b\geqslant c\geqslant 0$.

Suy ra (*) $\geqslant b^2c^2(a-b)+b^2c^2(b-c)+b^2c^2(c-a)=b^2c^2(a-b+b-c)+b^2c^2(c-a)=b^2c^2(a-c)+b^2c^2(c-a)=0$  (luôn đúng)

suy ra điều giả sử đúng, suy ra điều phải chứng minh.