Đề bài: Cho a, b, c >0. Chứng minh: $\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi butbimauxanh1629: 09-04-2015 - 23:26
Đề bài: Cho a, b, c >0. Chứng minh: $\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi butbimauxanh1629: 09-04-2015 - 23:26
Đề bài: Cho a, b, c >0. Chứng minh: $\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
Ta có: $\frac{c}{a^2} +\frac{a}{b^2} +\frac{a}{b^2} +\frac{1}{c} \geq \frac{4}{b}$
Tương tự, ta cũng có: $\frac{b}{c^2} +\frac{c}{a^2} +\frac{c}{a^2} +\frac{1}{b} \geq \frac{4}{a}$
$\frac{a}{b^2} +\frac{b}{c^2} +\frac{b}{c^2} +\frac{1}{a} \geq \frac{4}{c}$
$\Rightarrow 3.(\frac{a}{b^2} +\frac{b}{c^2} +\frac{c}{a^2}) +\frac{1}{a} +\frac{1}{b} +\frac{1}{c} \geq 4.(\frac{1}{a} +\frac{1}{b} +\frac{1}{c})$
$\Rightarrow 3.(\frac{a}{b^2} +\frac{b}{c^2} +\frac{c}{a^2}) \geq 3.(\frac{1}{a} +\frac{1}{b} +\frac{1}{c}) \Rightarrow$ đpcm
Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c$
Ta có: $\frac{c}{a^2} +\frac{a}{b^2} +\frac{a}{b^2} +\frac{1}{c} \geq \frac{4}{b}$
Tương tự, ta cũng có: $\frac{b}{c^2} +\frac{c}{a^2} +\frac{c}{a^2} +\frac{1}{b} \geq \frac{4}{a}$
$\frac{a}{b^2} +\frac{b}{c^2} +\frac{b}{c^2} +\frac{1}{a} \geq \frac{4}{c}$
$\Rightarrow 3.(\frac{a}{b^2} +\frac{b}{c^2} +\frac{c}{a^2}) +\frac{1}{a} +\frac{1}{b} +\frac{1}{c} \geq 4.(\frac{1}{a} +\frac{1}{b} +\frac{1}{c})$
$\Rightarrow 3.(\frac{a}{b^2} +\frac{b}{c^2} +\frac{c}{a^2}) \geq 3.(\frac{1}{a} +\frac{1}{b} +\frac{1}{c}) \Rightarrow$ đpcm
Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c$
Mình chưa hiểu lắm, bạn có thể nói rõ hơn về $\frac{c}{a^2} +\frac{a}{b^2} +\frac{a}{b^2} +\frac{1}{c} \geq \frac{4}{b}$ được không
Mình chưa hiểu lắm, bạn có thể nói rõ hơn về $\frac{c}{a^2} +\frac{a}{b^2} +\frac{a}{b^2} +\frac{1}{c} \geq \frac{4}{b}$ được không
Áp dụng BĐT CauChy cho 4 số dương $\frac{c}{a^{2}}+\frac{a}{b^{2}}+\frac{a}{b^{2}}+\frac{1}{c}\geq 4\sqrt[4]{\frac{c}{a^{2}}.\frac{a}{b^{2}}.\frac{a}{b^{2}}.\frac{1}{c}}=\frac{4}{b}$
Bạn có thể sử dụng phương pháp quy đồng như sau:
$\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}\geqslant \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}= \frac{a}{a^2}+\frac{b}{b^2}+\frac{c}{c^2}$
$\Leftrightarrow a^3c^2+b^3a^2+c^3b^2\geqslant ab^2c^2+ba^2c^2+ca^2b^2$
$\Leftrightarrow a^2c^2(a-b)+b^2a^2(b-c)+c^2b^2(c-a)\geqslant 0$ (*)
Giả sử: $a\geqslant b\geqslant c\geqslant 0$.
Suy ra (*) $\geqslant b^2c^2(a-b)+b^2c^2(b-c)+b^2c^2(c-a)=b^2c^2(a-b+b-c)+b^2c^2(c-a)=b^2c^2(a-c)+b^2c^2(c-a)=0$ (luôn đúng)
suy ra điều giả sử đúng, suy ra điều phải chứng minh.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh