Chủ đề này có 3 trả lời

[butbimauxanh1629]

Đề bài: Chứng minh rằng nếu: $a+b+c\geq 3$ thì $a^3+b^3+c^3\leq a^4+b^4+c^4$

[Hoang Nhat Tuan]

Đề bài: Chứng minh rằng nếu: $a+b+c\geq 3$ thì $a^3+b^3+c^3\leq a^4+b^4+c^4$

Ta có thể dễ dang chứng minh được:

$a^{4}+b^{4}\geq a^{3}b+ab^{3}$

$a^{4}+c^{4}\geq a^{3}c+ac^{3}$

$b^{4}+c^{4}\geq b^{3}c+bc^{3}$

Cộng vế theo vế ta có:

$2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\geq a^{3}b+ab^{3}+a^{3}c+ac^{3}+b^{3}c+bc^{3}$

Do đó: $3(a^{4}+b^{4}+c^{4})\geq a^{4}+b^{4}+c^{4}+a^{3}b+ab^{3}+a^{3}c+ac^{3}+b^{3}c+bc^{3}$

<=> $3(a^{4}+b^{4}+c^{4})\geq (a+b+c)(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq 3(a^{3}+b^{3}+c^{3})$

=> điều phải chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 10-04-2015 - 00:18

[the man]

Cách khác :

Ta cần chứng minh $a^4+b^4+c^4-a^3-b^3-c^3\geq 0$

Từ giả thiết ta có $3-a-b-c\leq 0$

Nên ta chứng minh $a^4+b^4+c^4-a^3-b^3-c^3+3-a-b-c\geq 0$

BĐT này tương đương với $(a-1)^2(a^2+a+1)+(b-1)^2(b^2+b+1)+(c-1)^2(c^2+c+1)\geq 0$ (luôn đúng)

Từ đó ta đi đến kết luận

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the man: 10-04-2015 - 04:38

[hoanglong2k]

Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev ta có: $a^4+b^4+c^4\geq \frac{1}{3}.(a+b+c)(a^3+b^3+c^3)\geq a^3+b^3+c^3$

Cách 4: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

 $(a^4+b^4+c^4)(a^2+b^2+c^2)\geq (a^3+b^3+c^3)^2$

 $(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)\geq (a^2+b^2+c^2)^2$

 $(1+1+1)(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2\geq 3(a+b+c)$

Nhân các bất đẳng thức trên ta có điều cần chứng minh