Chủ đề này có 3 trả lời

[Ngoc Hung]

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$

 

[My Linh Vietnamese]

Đặt $A+\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}$

thì $B=\frac{b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{c^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{a^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}=A$

$\Rightarrow 2A=A+B=\sum \frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2} \ge \sum (a+b) \frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}$

Mà ta lại có: $\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\ge \frac{1}{3}$

$\Rightarrow 2A \ge \frac{1}{3}\sum (a+b)\Rightarrow A \ge \frac{a+b+c}{3}$

Dấu $=$ xr khi: $a=b=c>0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 10-04-2015 - 07:34
Chú ý kẹp $$ giũa CT Toán học nhé

[Dinh Xuan Hung]

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$

$\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{a(a^2+ab+b^2)-ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}=a-\frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}\geq a-\frac{ab(a+b)}{2ab+ab}=a-\frac{a+b}{3}$

CMTT:$\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}=b-\frac{b+c}{3}$

$\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}=c-\frac{c+a}{3}$

$\Rightarrow \sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq a+b+c-\frac{2(a+b+c)}{3}=\frac{a+b+c}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 10-04-2015 - 11:51

[Hoang Nhat Tuan]

$\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{a(a^2+ab+b^2)-ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}=a-\frac{ab}{a^2+ab+b^2}\geq a-\frac{ab(a+b)}{2ab+ab}=a-\frac{a+b}{3}$

CMTT:$\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}=b-\frac{b+c}{3}$

$\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}=c-\frac{c+a}{3}$

$\Rightarrow \sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq a+b+c-\frac{2(a+b+c)}{3}=\frac{a+b+c}{3}$

dấu bằng thứ 2 sai kìa bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 10-04-2015 - 11:22