Chủ đề này có 4 trả lời

[olympiachapcanhuocmo]

Tìm a, b nguyên dương biết $(a^{2}+b^{2})\vdots (ab+2)$

 

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

            Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

                                     

  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 11-04-2015 - 04:03

[Lehalinhthcshb]

Tìm a,b nguyên dương biết :
a^2 + b^2 ⋮ ( ab+ 2)

(a;b) = (k; k+2), (k+2, k)
k là 1 số tự nhiên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lehalinhthcshb: 10-04-2015 - 22:22

[Hoangtheson2611]

(a;b) = (k; k+2), (k+2, k)
k là 1 số tự nhiên

 

Bạn giải thích rõ cách làm đi nói mỗi thế thì làm thế nào biết được a với b cách nhau 2

[Lehalinhthcshb]

Bạn giải thích rõ cách làm đi nói mỗi thế thì làm thế nào biết được a với b cách nhau 2

Cái này là mình thử 1 vài trường hợp rồi ra kết quả thôi, cách làm thì cũng chưa chắc lắm

[dogsteven]

Giả sử tồn tại các số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn bài toán. Đặt $k=\dfrac{a^2+b^2}{ab+2}$ và $\mathbb{S}=\left\{a,b\in\mathbb{Z}^{+}| k\in\mathbb{Z}\right\}$ là tập hợp khác rỗng. Luôn tồn tại $(a_0, b_0)$ với $a_0, b_0\in \mathbb{S}$ sao cho $a_0+b_0$ là nhỏ nhất. Giả sử $a_0\geqslant b_0$. Xét phương trình: $x^2-kb_0x+b_0^2-2k=0$

Phương trình có nghiệm $x=a_0$, giả sử nghiệm còn lại là $a_1$ thì $a_0+a_1=kb_0\Rightarrow a_1\in\mathbb{Z}$

$b_0=1\Rightarrow a_0=3$. Xét $b_0\geqslant 2$.

Nếu $a_1<0$ thì $a_1^2-kb_0a_1+b_0^2-2k\geqslant a_1^2+b_0^2>0$ vô lý.

Nếu $a_1>0$ thì theo cách chọn ta có $a_1\geqslant a_0$ mà $a_1=\dfrac{b_0^2-2k}{a_0}<a_0$ vô lý.

Vậy $a_1=0$ hay $b_0^2=2k$ và $a_0=kb_0$. Giải ra ta được $k=\dfrac{a^2+b^2}{ab+2}=2\Leftrightarrow |a-b|=2$