Chủ đề này có 3 trả lời

[tap lam toan]

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$f(xy)(f(x)-f(y))=(x-y)f(x)f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$$

[khanghaxuan]

Thay $x=1$ ta được :   $f(y)(f(1)-f(y))=(1-y)f(1)f(y)$

 

                                 $\Leftrightarrow f(y)(f(1)y-f(y))=0$ 

  - Nếu $f(y)=0$ thì thử lại thấy thỏa mãn nên $f(x)=0$ là một nghiệm của PTH

 

  - Nếu $f(y)=f(1)y$ thì thử lại thấy thỏa mãn nên $f(x)=f(1)x$ là một nghiệm của PTH (với $f(1)$ là một giá trị thỏa mãn PTH đã cho)

[tap lam toan]

Thay $x=1$ ta được :   $f(y)(f(1)-f(y))=(1-y)f(1)f(y)$

 

                                 $\Leftrightarrow f(y)(f(1)y-f(y))=0$ 

  - Nếu $f(y)=0$ thì thử lại thấy thỏa mãn nên $f(x)=0$ là một nghiệm của PTH

 

  - Nếu $f(y)=f(1)y$ thì thử lại thấy thỏa mãn nên $f(x)=f(1)x$ là một nghiệm của PTH (với $f(1)$ là một giá trị thỏa mãn PTH đã cho)

giải sai rồi. Bạn chỉ suy ra đuợc $\forall x$ thì $f(x)=0$ hoặc $f(x)=f(1).x$ thôi

[Juliel]

 

Thay $x=1$ ta được :   $f(y)(f(1)-f(y))=(1-y)f(1)f(y)$

 

                                 $\Leftrightarrow f(y)(f(1)y-f(y))=0\;\;\;(1)$ 

Nếu $f(1)=0$ thì có ngay $f(x)=0,\;\forall x\in \mathbb{R}$

Nếu $f(1)\neq 0$ thì dễ chứng minh $f$ đơn ánh và $f(0)=0$. Từ $(1)$ ta dễ thấy hai hàm $f(x)=0,\;\forall x\in \mathbb{R}$ và $f(x)=f(1)x,\;\forall x\in \mathbb{R}$ là thoả đề. Ta chứng minh đây là hai hàm duy nhất thoả đề. Gỉa sử tồn tại $a,b \neq 0$ sao cho $f(a)=0$ và $f(b)=bf(1)$.

Trong đề bài cho $x=a,y=b$ :

$$f(ab)(f(a)-f(b))=(a-b)f(a)f(b)\Leftrightarrow bf(1)f(ab)=0$$

Vì $b\neq0, f(1)\neq 0$ nên $f(ab)=0$, kéo theo $f(ab)=f(0)$ và do $f$ đơn ánh thì lại có $ab=0$. Mâu thuẫn vì $a,b\neq 0$.

Đáp số :

$$f(x)=cx,\;\forall x\in \mathbb{R}$$

với $c$ là số thực tuỳ ý.

 

Có thể bổ sung như trên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 18-05-2015 - 21:14