6 replies to this topic

[amy]

1) Cho $a,b,c$ là các số dương. CM: $(a+b+c)$$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$ $\geq 9$

Mình hiểu hướng giải nhưng vẫn băn khoăn về cách trình bày nên nhờ mọi người giúp mình 

Edited by amy, 12-04-2015 - 10:34.

[Hoang Nhat Tuan]

1) Cho $a,b,c$ là các số dương. CM: $(a+b+c)$$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$ \geq 9

Mình hiểu hướng giải nhưng vẫn băn khoăn về cách trình bày nên nhờ mọi người giúp mình 

Sử dụng bất đẳng thức bunhiacôpxki bạn

[amy]

Sử dụng bất đẳng thức bunhiacôpxki bạn

Mình biết cách làm rồi, nhưng không biết trình bày sao cho đúng. 

[Hoang Nhat Tuan]

Mình biết cách làm rồi, nhưng không biết trình bày sao cho đúng. 

Trình bày thế này nhé: 

$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=(\sqrt{a}^{2}+\sqrt{b}^{2}+\sqrt{c}^{2})(\frac{1}{\sqrt{a}^{2}}+\frac{1}{\sqrt{b}^{2}}+\frac{1}{\sqrt{c}^{2}})$

$\geq (1+1+1)^{2}=9$

Dấu bằng xảy ra tại a=b=c

[Ngoc Hung]

Cách 1: $(a+b+c)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )=1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1=3+\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right )+\left ( \frac{b}{c}+\frac{c}{b} \right )+\left ( \frac{c}{a}+\frac{a}{c} \right )=9+\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2 \right )+\left ( \frac{b}{c}+\frac{c}{b}-2 \right )+\left ( \frac{c}{a}+\frac{a}{c} -2\right )=9+\frac{(a-b)^{2}}{ab}+\frac{(b-c)^{2}}{bc}+\frac{(c-c)^{2}}{ca}\geq 9$

 

Cách 2: Áp dụng BĐT CauChy cho 3 số dương ta có $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc};\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\Rightarrow (a+b+c)\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq 9$

 

Cách 3: Dùng Bunhia

[hoanglong2k]

1) Cho $a,b,c$ là các số dương. CM: $(a+b+c)$$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$ $\geq 9$

Mình hiểu hướng giải nhưng vẫn băn khoăn về cách trình bày nên nhờ mọi người giúp mình 

Bạn có thế áp dụng Cauchy 3 số: 

$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 3.\sqrt[3]{abc}.3.\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}=9$

Hoặc 2 số: 

$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=3+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})\geq 3+2+2+2=9$

Dấu = xảy ra khi $a=b=c$

[Coppy dera]

$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=3+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}) \geq 3+2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}+2\sqrt{\frac{b}{c}.\frac{c}{b}}+2\sqrt{\frac{c}{a}.\frac{a}{c}}=3+2+2+2=9$