1.Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của 1 tam giác và $a+b+c=3$
Tìm GTNN của $A=3(a^2+b^2+c^2)+4abc$
2. Tìm GTNN của $N=x^4-8xy-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4+100$
3. Cho 2 số $a,b$ thỏa mãn : $a+b\neq 0$ .
CMR: $a^2+b^2+(\frac{ab+1}{a+b})^2\geq 2$
1.Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của 1 tam giác và $a+b+c=3$
Tìm GTNN của $A=3(a^2+b^2+c^2)+4abc$
2. Tìm GTNN của $N=x^4-8xy-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4+100$
3. Cho 2 số $a,b$ thỏa mãn : $a+b\neq 0$ .
CMR: $a^2+b^2+(\frac{ab+1}{a+b})^2\geq 2$
Câu 3: Cần chứng minh $(a+b)^{2}+(\frac{ab+1}{a+b})^{2}\geq 2+2ab$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si là ra
3. Cho 2 số $a,b$ thỏa mãn : $a+b\neq 0$ .
CMR: $a^2+b^2+(\frac{ab+1}{a+b})^2\geq 2$
BĐT $\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}-2+\left ( \frac{ab+1}{a+b} \right )^{2}\geq 0\Leftrightarrow (a+b)^{2}-2(ab+1)+\left ( \frac{ab+1}{a+b} \right )^{2}\geq 0\Leftrightarrow \left ( (a+b)-\frac{ab+1}{a+b} \right )^{2}\geq 0$
1.Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của 1 tam giác và $a+b+c=3$
Tìm GTNN của $A=3(a^2+b^2+c^2)+4abc$
có ở đây http://diendantoanho...-c2-right-4abc/
2. Tìm GTNN của $N=x^4-8xy-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4+100$
$4N=4x^{4}-32xy-4x^{3}y+4x^{2}y^{2}-4xy^{3}+4y^{4}+400=(2x^{2}-xy)^{2}+(2y^{2}-xy)^{2}+2(xy-8)^{2}+272\Rightarrow N\geq 68$
1.Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của 1 tam giác và $a+b+c=3$
Tìm GTNN của $A=3(a^2+b^2+c^2)+4abc$
Giải
Theo BĐT trong tam giác ta có $b+c>a$
Từ GT $\Rightarrow a< \frac{3}{2}$
$A=3\begin{bmatrix} a^2+(b+c)^2-2bc \end{bmatrix}+4abc=(4a-6)bc+6a^2-18a+27$
Chứng minh $A\geq 13$
$\Leftrightarrow (4a-6)bc+6a^2-18a+14\geq 0$
Vì $a< \frac{3}{2}$ nên $f(bc)$ nghịch biến
Hơn nữa ta có $bc\leq \frac{(b+c)^2}{4}=\frac{(3-a)^2}{4}$
$\Rightarrow f(bc)\geq f\begin{pmatrix} \frac{(3-a)^2}{4} \end{pmatrix}$
Vậy chỉ cần C/m $f\begin{pmatrix} \frac{(3-a)^2}{4} \end{pmatrix}\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-1)^2(2a+1\geq 0)$ (đúng)
Vậy $A\geq 13$
$A$ min $=13$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 12-04-2015 - 12:14
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
1.Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của 1 tam giác và $a+b+c=3$
Tìm GTNN của $A=3(a^2+b^2+c^2)+4abc$
Giả sử a là cạnh lớn nhất trong tam giác thì b + c > a (theo bất đẳng thức tam giác) $\Rightarrow 2a<a+b+c=3\Rightarrow a<\frac{3}{2}$
Từ đó ta có: $a,b,c<\frac{3}{2}$ suy ra $\frac{3}{2}-a,\frac{3}{2}-b,\frac{3}{2}-c>0$
Áp dụng Cô-si cho 3 số dương: $(\frac{3}{2}-a)+(\frac{3}{2}-b)+(\frac{3}{2}-c)\geqslant 3\sqrt[3]{(\frac{3}{2}-a)(\frac{3}{2}-b)(\frac{3}{2}-c)} $
$\Leftrightarrow \frac{1}{8}\geqslant(\frac{3}{2}-a)(\frac{3}{2}-b)(\frac{3}{2}-c)$
$\Leftrightarrow \frac{1}{8}\geqslant \frac{-27}{8}+\frac{3}{2}(ab+bc+ca)-abc\Leftrightarrow 4abc\geqslant -14+6(ab+bc+ca) \Leftrightarrow 3(a+b+c)^2+4abc\geqslant 13+6(ab+bc+ca)\Leftrightarrow 3a^2+3b^2+3c^2+4abc\geqslant 13$ (Q.E.D)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh