Chủ đề này có 2 trả lời

[longatk08]

Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+xz=1$.Chứng minh rằng:

$\frac{1}{x^2+yz+1}+\frac{1}{y^2+xz+1}+\frac{1}{z^2+xy+1}\leq \frac{9}{5}$

[viet nam in my heart]

Cách không hay:

Đặt $x+y+z=p,xy+yz+zx=q,xyz=r$

Quy điều cần chứng minh thành : $9rp^3-62pr+72r^2+3p^2\geq 0$

                                                     $\Leftrightarrow 9r\left (p^3+9r-4pq \right )+\left (\frac{p^2}{9}-9r^2 \right )+26p\left ( \frac{p}{9}-r \right )\geq 0(1)$

Dễ chứng minh được $p\geq \sqrt{3},r\leq \frac{\sqrt{3}}{9}$ nên (1) đúng

Dấu "= ' xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 12-04-2015 - 21:31

[nguyenhongsonk612]

Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+xz=1$.Chứng minh rằng:

$\frac{1}{x^2+yz+1}+\frac{1}{y^2+xz+1}+\frac{1}{z^2+xy+1}\leq \frac{9}{5}$

Tớ làm thế này có được không ạ. Mong mọi người chỉ bảo ạ

Giải:

Giả sử có một số $t\geq 0$ sao cho $t^2+2xt=1$ và $t=min\begin{Bmatrix} t,y,z \end{Bmatrix}$

Giờ ta chứng minh $f(x;y;z)\geq f(x;t;t)$

Xét hiệu 

$f(x;y;z)-f(x;t;t)=\frac{t^2-yz}{(x^2+t^2+1)(x^2+yz+1)}+\frac{(t^2-y^2)+x(t-z)}{(y^2+zx+1)(t^2+xt+1)}+\frac{(t^2-z^2)+x(t-y)}{(z^2+xy+1)(t^2+xt+1)}\leq 0$

(Do $t=min\begin{Bmatrix} t,y,z \end{Bmatrix}$)

Bây giờ ta chỉ cần C/m $f(x;t;t)\leq \frac{9}{5}$ $(*)$

Ta có $t^2+2xt=1$ $\Leftrightarrow x=\frac{1-t^2}{2t}$

$(*)\Leftrightarrow 45\begin{pmatrix} t^2-\frac{1}{3} \end{pmatrix}^2\begin{pmatrix} t^2+\frac{7}{5} \end{pmatrix}\geq 0$

(đúng)

Vậy ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 13-04-2015 - 13:14