2 replies to this topic

[Ngoc Hung]

Cho $0< a\leq b\leq c$. Chứng minh rằng $4a^{2}+4b^{2}\leq ab+bc+ca+5c^{2}$

[hoanglong2k]

Cho $0< a\leq b\leq c$. Chứng minh rằng $4a^{2}+4b^{2}\leq ab+bc+ca+5c^{2}$

Đặt $b=a+x;c=a+x+y$ với $x,y\geq 0$

Khi đó: $Ine\Leftrightarrow 4a^2+4(a+x)^2\leq a(a+x)+(a+x)(a+x+y)+a(a+x+y)+5(a+x+y)^2$

                 $\Leftrightarrow 8a^2+8ax+4x^2\leq 8a^2+14ax+6x^2+5y^2+12ay+11xy$

                 $\Leftrightarrow 6a(x+2y)+2x^2+5y^2+11xy\geq 0$ ( luôn đúng )

Vậy có điều cần chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

[hoanglong2k]

Cách khác:

Ta có: $a\leq b\leq c\Rightarrow 4a^2\leq ab+bc+ca+c^2$

           $b\leq c\Rightarrow 4b^2\leq 4c^2$

Cộng lại có đpcm