Jump to content

Photo

$\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{a+b} \ge 3+\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{(a+b+c)^2}$


  • Please log in to reply
8 replies to this topic

#1
vipboycodon

vipboycodon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 posts

Cho a,b,c > 0 .CMR: $\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{a+b} \ge 3+\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{(a+b+c)^2}$



#2
hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 posts

Cho a,b,c > 0 .CMR: $\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{a+b} \ge 3+\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{(a+b+c)^2}$

Áp dụng bất đẳng thức phụ $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$,ta có

$\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{a+b}$$\geq 3$ (1)

mà $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\geq 0; (*) (a+b+c)^{2}\geq 0\Rightarrow \frac{1}{(a+b+c)^{2}}< 0(**)$

từ (*)(**)$\Rightarrow \dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{(a+b+c)^2}\leq 0$ (2)

Từ (1)(2)$\Rightarrow \dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{a+b} \ge 3+\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{(a+b+c)^2}$(đpcm)


Edited by votruc, 14-04-2015 - 19:40.


#3
congdaoduy9a

congdaoduy9a

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 338 posts

 

Áp dụng bất đẳng thức phụ $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$,ta có

$\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{a+b}$$\geq 3$ (1)

mà $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\geq 0; (*) (a+b+c)^{2}\geq 0\Rightarrow \frac{1}{(a+b+c)^{2}}< 0(**)$

từ $(*)(**)$\Rightarrow \dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{(a+b+c)^2}\leq 0$ (2)

Từ (1)(2)$\Rightarrow \dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{a+b} \ge 3+\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{(a+b+c)^2}$(đpcm)

 

Có lẽ nhầm rồi nha !~~  :(



#4
hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 posts

 

 

 

Có lẽ nhầm rồi nha !~~  :(

 

bài này mình làm cũng ko chắc lắm,nếu sai sửa hộ mình


Edited by votruc, 14-04-2015 - 19:46.


#5
congdaoduy9a

congdaoduy9a

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 338 posts

bài này mình làm cũng ko chắc lắm,nếu sai sửa hộ mình còn đoạn $\frac{1}{(a+b+c)^{2}}< 0$ nhầm ở đâu vậy bạn congdaoduy9a

$(a+b+c)^{2}> 0\Rightarrow \frac{1}{(a+b+c)^{2}}> 0$ (thực chất là chia hai vế cho $(a+b+c)^{4}$ vì nó lớn hơn 0 ấy mà )  :lol:



#6
vipboycodon

vipboycodon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 posts

làm sao mà (2) nhỏ hơn hoặc bằng không được bạn


Edited by vipboycodon, 14-04-2015 - 19:49.


#7
nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 posts

Cho a,b,c > 0 .CMR: $\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{a+b} \ge 3+\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{(a+b+c)^2}$

Chuyển $3$ sang vế trái

Cần C/m $\sum \frac{2a}{b+c}-3\geq \frac{\sum (a-b)^2}{(a+b+c)^2}$

Ta có

$\frac{2a}{b+c}-1=\frac{a-b}{b+c}-\frac{c-a}{b+c}$

$\frac{2b}{c+a}-1=\frac{b-c}{c+a}-\frac{a-b}{c+a}$

$\frac{2c}{a+b}-1=\frac{c-a}{a+b}-\frac{b-c}{a+b}$

$VT=\Rightarrow \sum (a-b)\begin{pmatrix} \frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a} \end{pmatrix}=\sum \frac{(a-b)^2}{(b+c)(c+a)}$

Vậy ta chỉ cần C/m $\sum \frac{(a-b)^2}{(b+c)(c+a)}\geq \frac{\sum (a-b)^2}{(a+b+c)^2}$

BĐT $\Leftrightarrow \sum (a-b)^2\begin{pmatrix} \frac{a^2+b^2+ab+bc+ca}{(b+c)(c+a)(a+b+c)^2} \end{pmatrix}\geq 0$

(đúng)

Vậy ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$


Edited by nguyenhongsonk612, 14-04-2015 - 19:55.

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#8
ducvipdh12

ducvipdh12

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 454 posts

Áp dụng bất đẳng thức phụ $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$,ta có

$\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{a+b}$$\geq 3$ (1)

mà $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\geq 0; (*) (a+b+c)^{2}\geq 0\Rightarrow \frac{1}{(a+b+c)^{2}}< 0(**)$

từ (*)(**)$\Rightarrow \dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{(a+b+c)^2}\leq 0$ (2)

Từ (1)(2)$\Rightarrow \dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{a+b} \ge 3+\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{(a+b+c)^2}$(đpcm)

bài em sai rõ ràng rồi nhé,với lại đây là một BĐT chặt hơn BĐT Schur nên không thể dùng nó được  :closedeyes:


FAN THẦY THÔNG,ANH CẨN,THẦY VINH :icon6: :icon6:

#9
khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 posts

Giả sử $c=min\begin{Bmatrix} a;b;c \end{Bmatrix}$      

 $2(\sum \frac{a}{b+c}-\frac{3}{2})\geq \frac{\sum (a-b)^{2}}{(\sum a)^{2}}$(*)

 

$VT=2\frac{(a-b)^{2}}{(a+c)(b+c)}+\frac{a+b+2c}{\prod (a+b)}(a-c)(b-c)$

$VP=2\frac{(a-b)^{2}+(a-c)(b-c)}{(\sum a)^{2}}$

 

Ta có :   $(*)\Leftrightarrow 2(a-b)^{2}.A+2(a-c)(b-c).B$

với :  $A=a^{2}+b^{2}+\sum ab\geq 0$

         $B=...=\geq 0$  (chỗ này dài lười đánh :P )


Edited by khanghaxuan, 14-04-2015 - 19:56.

Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -




1 user(s) are reading this topic

0 members, 1 guests, 0 anonymous users