Cho a,b,c > 0 .CMR: $\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{a+b} \ge 3+\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{(a+b+c)^2}$
$\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{a+b} \ge 3+\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{(a+b+c)^2}$
#1
Đã gửi 14-04-2015 - 19:09
#2
Đã gửi 14-04-2015 - 19:24
Cho a,b,c > 0 .CMR: $\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{a+b} \ge 3+\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{(a+b+c)^2}$
Áp dụng bất đẳng thức phụ $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$,ta có
$\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{a+b}$$\geq 3$ (1)
mà $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\geq 0; (*) (a+b+c)^{2}\geq 0\Rightarrow \frac{1}{(a+b+c)^{2}}< 0(**)$
từ (*)(**)$\Rightarrow \dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{(a+b+c)^2}\leq 0$ (2)
Từ (1)(2)$\Rightarrow \dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{a+b} \ge 3+\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{(a+b+c)^2}$(đpcm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 14-04-2015 - 19:40
- Ngoc Hung, Dung Du Duong, the man và 2 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 14-04-2015 - 19:33
Áp dụng bất đẳng thức phụ $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$,ta có
$\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{a+b}$$\geq 3$ (1)
mà $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\geq 0; (*) (a+b+c)^{2}\geq 0\Rightarrow \frac{1}{(a+b+c)^{2}}< 0(**)$
từ $(*)(**)$\Rightarrow \dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{(a+b+c)^2}\leq 0$ (2)
Từ (1)(2)$\Rightarrow \dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{a+b} \ge 3+\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{(a+b+c)^2}$(đpcm)
Có lẽ nhầm rồi nha !~~
- rainbow99, nguyenhongsonk612 và HoangVienDuy thích
#4
Đã gửi 14-04-2015 - 19:44
Có lẽ nhầm rồi nha !~~
bài này mình làm cũng ko chắc lắm,nếu sai sửa hộ mình
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 14-04-2015 - 19:46
#5
Đã gửi 14-04-2015 - 19:47
bài này mình làm cũng ko chắc lắm,nếu sai sửa hộ mình còn đoạn $\frac{1}{(a+b+c)^{2}}< 0$ nhầm ở đâu vậy bạn congdaoduy9a
$(a+b+c)^{2}> 0\Rightarrow \frac{1}{(a+b+c)^{2}}> 0$ (thực chất là chia hai vế cho $(a+b+c)^{4}$ vì nó lớn hơn 0 ấy mà )
#6
Đã gửi 14-04-2015 - 19:48
làm sao mà (2) nhỏ hơn hoặc bằng không được bạn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vipboycodon: 14-04-2015 - 19:49
#7
Đã gửi 14-04-2015 - 19:51
Cho a,b,c > 0 .CMR: $\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{a+b} \ge 3+\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{(a+b+c)^2}$
Chuyển $3$ sang vế trái
Cần C/m $\sum \frac{2a}{b+c}-3\geq \frac{\sum (a-b)^2}{(a+b+c)^2}$
Ta có
$\frac{2a}{b+c}-1=\frac{a-b}{b+c}-\frac{c-a}{b+c}$
$\frac{2b}{c+a}-1=\frac{b-c}{c+a}-\frac{a-b}{c+a}$
$\frac{2c}{a+b}-1=\frac{c-a}{a+b}-\frac{b-c}{a+b}$
$VT=\Rightarrow \sum (a-b)\begin{pmatrix} \frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a} \end{pmatrix}=\sum \frac{(a-b)^2}{(b+c)(c+a)}$
Vậy ta chỉ cần C/m $\sum \frac{(a-b)^2}{(b+c)(c+a)}\geq \frac{\sum (a-b)^2}{(a+b+c)^2}$
BĐT $\Leftrightarrow \sum (a-b)^2\begin{pmatrix} \frac{a^2+b^2+ab+bc+ca}{(b+c)(c+a)(a+b+c)^2} \end{pmatrix}\geq 0$
(đúng)
Vậy ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 14-04-2015 - 19:55
- Ngoc Hung, vipboycodon, ducvipdh12 và 2 người khác yêu thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#8
Đã gửi 14-04-2015 - 19:52
Áp dụng bất đẳng thức phụ $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$,ta có
$\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{a+b}$$\geq 3$ (1)
mà $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\geq 0; (*) (a+b+c)^{2}\geq 0\Rightarrow \frac{1}{(a+b+c)^{2}}< 0(**)$
từ (*)(**)$\Rightarrow \dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{(a+b+c)^2}\leq 0$ (2)
Từ (1)(2)$\Rightarrow \dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{a+b} \ge 3+\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{(a+b+c)^2}$(đpcm)
bài em sai rõ ràng rồi nhé,với lại đây là một BĐT chặt hơn BĐT Schur nên không thể dùng nó được
#9
Đã gửi 14-04-2015 - 19:55
Giả sử $c=min\begin{Bmatrix} a;b;c \end{Bmatrix}$
$2(\sum \frac{a}{b+c}-\frac{3}{2})\geq \frac{\sum (a-b)^{2}}{(\sum a)^{2}}$(*)
$VT=2\frac{(a-b)^{2}}{(a+c)(b+c)}+\frac{a+b+2c}{\prod (a+b)}(a-c)(b-c)$
$VP=2\frac{(a-b)^{2}+(a-c)(b-c)}{(\sum a)^{2}}$
Ta có : $(*)\Leftrightarrow 2(a-b)^{2}.A+2(a-c)(b-c).B$
với : $A=a^{2}+b^{2}+\sum ab\geq 0$
$B=...=\geq 0$ (chỗ này dài lười đánh )
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 14-04-2015 - 19:56
- nguyenhongsonk612, HoangVienDuy và congdaoduy9a thích
Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .
- A.Lincoln -1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh