Chủ đề này có 2 trả lời

[quangminhltv99]

Cho $ a, b, c $ là ba số không âm sao cho $ a+b+c=3 $. Cmr \[ \sqrt{8a+b^3}+\sqrt{8b+c^3}+\sqrt{8c+a^3}\ge 9 \]. Dấu bằng xảy ra khi nào

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangminhltv99: 16-04-2015 - 21:50

[Nguyen Minh Hai]

Cho $ a, b, c $ là ba số không âm sao cho $ a+b+c=3 $. Cmr \[ \sqrt{8a+b^3}+\sqrt{8b+c^3}+\sqrt{8c+a^3} \]. Dấu bằng xảy ra khi nào

Áp dụng C-S ta có:

$\sum\sqrt{8a+b^3}=\sum\sqrt{\frac{a^2}{a}+\frac{a^2}{a}+...+\frac{a^2}{a}+\frac{b^4}{b}}\geq \sum\frac{8a+b^2}{\sqrt{8a+b}}=8.\sum\frac{a}{\sqrt{8a+b}}+\sum\frac{b^2}{\sqrt{8a+b}}$

Lại có:

$\sum\frac{b^2}{\sqrt{8a+b}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum\sqrt{8a+b}}\geq\frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{3.9(a+b+c)}}=1$

Do đó cần cm: 

$\sum\frac{a}{\sqrt{8a+b}} \geq 1$

 Buồn ngủ quá....chưa làm ra... 

[dogsteven]

Áp dụng C-S ta có:

$\sum\sqrt{8a+b^3}=\sum\sqrt{\frac{a^2}{a}+\frac{a^2}{a}+...+\frac{a^2}{a}+\frac{b^4}{b}}\geq \sum\frac{8a+b^2}{\sqrt{8a+b}}=8.\sum\frac{a}{\sqrt{8a+b}}+\sum\frac{b^2}{\sqrt{8a+b}}$

Lại có:

$\sum\frac{b^2}{\sqrt{8a+b}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum\sqrt{8a+b}}\geq\frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{3.9(a+b+c)}}=1$

Do đó cần cm: 

$\sum\frac{a}{\sqrt{8a+b}} \geq 1$

 Buồn ngủ quá....chưa làm ra... 

 

Có thêm điểm rơi $a=0, b=1, c=2$ nên việc chỉ đánh giá cho điểm rơi tại tâm $a=b=c=1$ sẽ đi đến bế tắc.