Chủ đề này có 1 trả lời

[medokung]

Cho 5 số thực không âm a, b, c, d, e có tổng bằng 1. Xếp 5 số này trên một đường tròn. Chứng minh rằng luôn tồn tại một cách xếp sao cho hai số bất kì cạnh nhau có tích không lớn hơn $\frac{1}{9}$

 

Chú ý:   Cách gõ công thức Toán.

              Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 16-04-2015 - 05:49

[Ngoc Hung]

Giả sử năm số đó là $a\geq b\geq c\geq d\geq e\geq 0$. Ta phải có $b+c\leq \frac{2}{3}$ vì nếu ngược lại $b+c> \frac{2}{3}$ thì ta có $2a> b+c> \frac{2}{3}$ dẫn đến $a> \frac{1}{3}$. Cái này dẫn đến điều vô lý a + b + c > 1. Vậy nên $bc\leq \frac{1}{4}(b+c)^{2}=\frac{1}{9}$. Mặt khác $1=a+b+c+d+e\geq a+3d+e\geq a+3d\geq 2\sqrt{3ad}\Rightarrow ad\leq \frac{1}{12}\Rightarrow ae\leq ad\leq \frac{1}{12}< \frac{1}{9}$.

Ta có thể xếp các số a, d, c, b, e trên đường tròn theo thứ tự thuận kim đồng hồ. Ta có $ad< \frac{1}{9},dc< ad< \frac{1}{9},bc\leq \frac{1}{9},be\leq bc\leq \frac{1}{9};ea\leq ad\leq \frac{1}{9}$. Số $\frac{1}{9}$ là số nhỏ nhất có thể