Chủ đề này có 2 trả lời

[hoanglong2k]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a\leq b\leq 3\leq c$ ; $c\geq b+1$ ; $a+b\geq c$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $Q=\frac{a+b+2ab+c(ab-1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}$ 

[dogsteven]

Tạm thời thế này, thấy cái tử có cái gì đố giống giống cái mẫu thôi tách đại cho nó thành thế này

$Q=\dfrac{(a+1)(b+1)+(ab-1)(c+1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}=\dfrac{1}{c+1}+\dfrac{ab-1}{(a+1)(b+1)}=\dfrac{1}{c+1}+\dfrac{ab+a+b+1-a-b-2}{(a+1)(b+1)}=\dfrac{1}{c+1}+1-\dfrac{1}{a+1}-\dfrac{1}{b+1}=\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}-\dfrac{c}{c+1}$

Cho $c=b+1, a+b=c$ và $c=3$ ta được $a=1, b=2, c=3$. Thế thì ta đánh giá cho điểm rơi này. Đến đây thì chắc chắc là Abel với dạng $x=y=z=0$

$\dfrac{a}{a+1}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{a-1}{2(a+1)}, \dfrac{b}{b+1}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{b-2}{3(b+1)}$ và $-\dfrac{c}{c+1}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{3-c}{4(c+1)}$

Áp dụng phép tách Abel thì

$\dfrac{a-1}{2(a+1)}+\dfrac{b-2}{3(b+1)}+\dfrac{3-c}{4(c+1)}\\=(3-c)\left(\dfrac{1}{4(c+1)}-\dfrac{1}{3(b+1)}\right)+(b+1-c)\left(\dfrac{1}{3(b+1)}-\dfrac{1}{2(a+1)}\right)+\dfrac{a+b-c}{2(a+1)}\geqslant 0$

Do đó $Q\geqslant \dfrac{5}{12}$

[KietLW9]

Ta có: $Q=\frac{a+b+2ab+c(ab-1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}=\frac{(a+1)(b+1)+(ab-1)(c+1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}=\frac{1}{c+1}+\frac{ab-1}{(a+1)(b+1)}\geqslant \frac{1}{a+b+1}+\frac{ab-1}{ab+a+b+1}$

Từ giả thiết, ta có: $a+b\geqslant c\geqslant b+1\Rightarrow b\geqslant a\geqslant 1\Rightarrow (a-1)(b-1)\geqslant 0\Rightarrow ab\geqslant a+b-1$

Suy ra $\frac{1}{a+b+1}+\frac{ab-1}{ab+a+b+1}\geqslant \frac{1}{ab+2}+\frac{ab-1}{2ab+2}=\frac{2(ab-2)(ab+5)}{(ab+2)(2ab+2)}+\frac{5}{12}\geqslant \frac{5}{12}$ (Vì $ab\geqslant a+b-1\geqslant c-1\geqslant 3-1=2$)