Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $n \le 2p$ và ${{(p-1)}^{n}}+1$ chia hết cho ${{n}^{p-1}}.$
$n\leq 2p$ và $(p−1)^{n}+1$ chia hết cho $n^{p−1}$
#1
Posted 16-04-2015 - 14:44
#2
Posted 20-04-2015 - 16:44
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $n \le 2p$ và ${{(p-1)}^{n}}+1$ chia hết cho ${{n}^{p-1}}.$
Gọi q là ước nhỏ nhất của n.
$\Rightarrow (p-1)^{n}\equiv -1 (mod q)\Rightarrow (p-1)^{2n}\equiv 1 (mod q)$
Gọi $d=ord_{p-1}(q)\Rightarrow \left\{\begin{matrix}2n\vdots d \\ q-1\vdots d \end{matrix}\right.$
Do q là ước nhỏ nhất do đó d=1 hoặc d=2.
+ d=1$\Rightarrow p\equiv 0(mod q)\Leftrightarrow p=q$
TH1:n=p
$\Rightarrow (p-1)^{p}+1\vdots p^{p-1}$
Từ đây suy ra p=2 thỏa
Xét p>2. Sử dụng bổ đề LTE: $v_{p}((p-1)^{p}+1)=2\Rightarrow 2\geq p-1\Rightarrow p=3$
TH2:n=2p, Nên p=2
+d=2. dễ dàng suy ra được n không chia hết cho 2.
Điều này vô lý do ord=2.
Vậy chỉ có 2 nghiệm là $(p;n)=(2;2),(3;3) $. Ngoài ra còn có các nghiệm tâm thường khác là (p;1)
THCS NGUYỄN DUY,PHONG ĐIỀN$\Rightarrow$THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ$\Rightarrow$???
TẬP LÀM THÁM TỬ TẠI ĐÂY http://diendantoanho...ám/#entry513026
#3
Posted 22-04-2015 - 17:56
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $n \le 2p$ và ${{(p-1)}^{n}}+1$ chia hết cho ${{n}^{p-1}}.$
đây là bài toán trong đề $IMO$ năm $1999$
$-$nếu $n=1$ thì $\forall p\in \mathbb{P}$ thỏa đề
$-$ xét với $n>1$
$\blacksquare$ với $p=2$
$\Rightarrow n\mid 2\Rightarrow n=2$
$\blacksquare$ với $p\geq 3$
do $(p-1)^n+1$ lẻ nên $n$ lẻ
nếu $p\not | n$ thì
$p\mid n^{p-1}-1$ mà $p\mid (p-1)^n+1\Rightarrow p\mid \left ( n^{p-1}-1,(p-1)^n+1 \right )$
mặt khác
$n^{p-1}\mid (p-1)^n+1\Rightarrow p\mid \left ( n^{p-1}-1,(p-1)^n+1 \right )=1$
điều trên vô lí do đó $p\mid n$
ta có
$v_p\left ( n^{p-1} \right )\leq v_p\left ( (p-1)^n+1 \right )$
mặt khác
$n\leq 2p<p^2\Rightarrow v_p(n)=1\Rightarrow v_p\left ( n^{p-1} \right )=p-1$
$\Rightarrow p-1\leq v_p\left ( (p-1)^n+1 \right )=v_p(p)+v_p(n)=2$
$\Rightarrow p=3\Rightarrow n=3$
vậy $\boxed{(n,p)\in \left \{ (1,p),(2,2),(3,3) \right \}}$
Edited by Bui Ba Anh, 30-04-2015 - 17:23.
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
#4
Posted 22-04-2015 - 18:04
Gọi q là ước nhỏ nhất của n.
$\Rightarrow (p-1)^{n}\equiv -1 (mod q)\Rightarrow (p-1)^{2n}\equiv 1 (mod q)$
Gọi $d=ord_{p-1}(q)\Rightarrow \left\{\begin{matrix}2n\vdots d \\ q-1\vdots d \end{matrix}\right.$
Do q là ước nhỏ nhất do đó d=1 hoặc d=2.
+ d=1$\Rightarrow p\equiv 0(mod q)\Leftrightarrow p=q$
TH1:n=p
$\Rightarrow (p-1)^{p}+1\vdots p^{p-1}$
Từ đây suy ra p=2 thỏa
Xét p>2. Sử dụng bổ đề LTE: $v_{p}((p-1)^{p}+1)=2\Rightarrow 2\geq p-1\Rightarrow p=3$
TH2:n=2p, Nên p=2
+d=2. dễ dàng suy ra được n không chia hết cho 2.
Điều này vô lý do ord=2.
Vậy chỉ có 2 nghiệm là $(p;n)=(2;2),(3;3) $. Ngoài ra còn có các nghiệm tâm thường khác là (p;1)
có $2=ord_q(p-1)\mid 2n$ điều này là đúng,sao vô lí được
Edited by Bui Ba Anh, 30-04-2015 - 17:23.
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users