Chủ đề này có 3 trả lời

[tranquocluat_ht]

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $n \le 2p$ và ${{(p-1)}^{n}}+1$ chia hết cho ${{n}^{p-1}}.$

[mnguyen99]

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $n \le 2p$ và ${{(p-1)}^{n}}+1$ chia hết cho ${{n}^{p-1}}.$

Gọi q là ước nhỏ nhất của n.

$\Rightarrow (p-1)^{n}\equiv -1 (mod q)\Rightarrow (p-1)^{2n}\equiv 1 (mod q)$

Gọi $d=ord_{p-1}(q)\Rightarrow \left\{\begin{matrix}2n\vdots d \\ q-1\vdots d \end{matrix}\right.$

Do q là ước nhỏ nhất do đó d=1 hoặc d=2.

+ d=1$\Rightarrow p\equiv 0(mod q)\Leftrightarrow p=q$

TH1:n=p

$\Rightarrow (p-1)^{p}+1\vdots p^{p-1}$

Từ đây suy ra p=2 thỏa

Xét p>2. Sử dụng bổ đề LTE: $v_{p}((p-1)^{p}+1)=2\Rightarrow 2\geq p-1\Rightarrow p=3$

TH2:n=2p, Nên p=2

+d=2. dễ dàng suy ra được n không chia hết cho 2.

Điều này vô lý do ord=2.

Vậy chỉ có 2 nghiệm là $(p;n)=(2;2),(3;3) $. Ngoài ra còn có các nghiệm tâm thường khác là (p;1)

[nhungvienkimcuong]

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $n \le 2p$ và ${{(p-1)}^{n}}+1$ chia hết cho ${{n}^{p-1}}.$

đây là bài toán trong đề $IMO$ năm $1999$

$-$nếu $n=1$ thì $\forall p\in \mathbb{P}$ thỏa đề

$-$ xét với $n>1$

$\blacksquare$ với $p=2$ 

$\Rightarrow n\mid 2\Rightarrow n=2$

$\blacksquare$ với $p\geq 3$

do $(p-1)^n+1$ lẻ nên $n$ lẻ

nếu $p\not | n$ thì

$p\mid n^{p-1}-1$ mà $p\mid (p-1)^n+1\Rightarrow p\mid \left ( n^{p-1}-1,(p-1)^n+1 \right )$

mặt khác

$n^{p-1}\mid (p-1)^n+1\Rightarrow p\mid \left ( n^{p-1}-1,(p-1)^n+1 \right )=1$

điều trên vô lí do đó $p\mid n$

ta có

$v_p\left ( n^{p-1} \right )\leq v_p\left ( (p-1)^n+1 \right )$

mặt khác

$n\leq 2p<p^2\Rightarrow v_p(n)=1\Rightarrow v_p\left ( n^{p-1} \right )=p-1$

$\Rightarrow p-1\leq v_p\left ( (p-1)^n+1 \right )=v_p(p)+v_p(n)=2$

$\Rightarrow p=3\Rightarrow n=3$

vậy $\boxed{(n,p)\in \left \{ (1,p),(2,2),(3,3) \right \}}$

Spoiler

cách giải trên là trong cuốn các phương pháp giải toán Olimpic

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 30-04-2015 - 17:23

[nhungvienkimcuong]

Gọi q là ước nhỏ nhất của n.

$\Rightarrow (p-1)^{n}\equiv -1 (mod q)\Rightarrow (p-1)^{2n}\equiv 1 (mod q)$

Gọi $d=ord_{p-1}(q)\Rightarrow \left\{\begin{matrix}2n\vdots d \\ q-1\vdots d \end{matrix}\right.$

Do q là ước nhỏ nhất do đó d=1 hoặc d=2.

+ d=1$\Rightarrow p\equiv 0(mod q)\Leftrightarrow p=q$

TH1:n=p

$\Rightarrow (p-1)^{p}+1\vdots p^{p-1}$

Từ đây suy ra p=2 thỏa

Xét p>2. Sử dụng bổ đề LTE: $v_{p}((p-1)^{p}+1)=2\Rightarrow 2\geq p-1\Rightarrow p=3$

TH2:n=2p, Nên p=2

+d=2. dễ dàng suy ra được n không chia hết cho 2.

Điều này vô lý do ord=2.

Vậy chỉ có 2 nghiệm là $(p;n)=(2;2),(3;3) $. Ngoài ra còn có các nghiệm tâm thường khác là (p;1)

có $2=ord_q(p-1)\mid 2n$ điều này là đúng,sao vô lí được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 30-04-2015 - 17:23