Chủ đề này có 4 trả lời

[Tuan Hoang Nhat]

Cho $x,y\epsilon Z$ giải phương trình:

1. $x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=8(x^{2}+xy+y^{2}+1)$

2. $x^{3}-y^{3}=1993$

[hoctrocuaZel]

Cho $x,y\epsilon Z$ giải phương trình:

1. $x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=8(x^{2}+xy+y^{2}+1)$

2. $x^{3}-y^{3}=1993$

$1$: $(x+y)^3-2xy(x+y)=8(x+y)^2-8xy+8\Leftrightarrow a^3-2ab=8a^2-8b+8<=>a^3-8a^2+64-2b(a-4)=72$

$2$

1993 nguyên tố í nhỉ?

[LeHKhai]

Cho $x,y\epsilon Z$ giải phương trình:

1. $x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=8(x^{2}+xy+y^{2}+1)$

2. $x^{3}-y^{3}=1993$

1. $x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 = 8(x^2 + xy + y^2 + 1)$ (1) $\Leftrightarrow (x^2+y^2)(x+y)=8(x^2+y^2)+8(xy+1) \Leftrightarrow (x^2+y^2)(x+y-8)=8xy+8$ (2) suy ra $x, y$ cùng tính chẵn lẻ

nếu $x=y$ thì (1) $\Leftrightarrow x^3 - 6x^2 - 2 = 0$ : không có nghiệm nguyên

do đó $x\neq y$ và $x, y$ cùng tính chẵn lẻ nên $\left |x-y  \right |\geq 2\Rightarrow (x-y)^2\geq 4\Rightarrow x^2+y^2\geq 4+2xy> \left | 2+2xy \right |$ (3)

(2) $\Rightarrow \left | (x^2+y^2) \right |\left | x+y-8 \right |=4\left | 2xy+2 \right |$

(3) $\Rightarrow \left | x+y-8 \right |<4\Rightarrow 4<x+y<12\Rightarrow x+y \in \left \{ 6,8,10 \right \}$

nếu $x+y=6$ thì $x^2+y^2=36-2xy$

(2) $\Rightarrow -2(36-2xy)=4(2xy+2)\Rightarrow xy=-20$

theo hệ thức Vi-ét thì $x, y$ là nghiệm của phương trình $X^2-6X-20=0$ : không có nghiệm nguyên

tương tự cho $x+y=8$ và $x+y=10$

ta được $(x;y)=(8;2);(2;8)$

[LeHKhai]

Cho $x,y\epsilon Z$ giải phương trình:

1. $x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=8(x^{2}+xy+y^{2}+1)$

2. $x^{3}-y^{3}=1993$

2. $x^3-y^3=1993 \Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2)=1993$

do $x^2+xy+y^2 \geq 0$ nên $x-y,x^2+xy+y^2$ là ước dương của $1993$

do $1993$ là số nguyên tố nên ta có các hệ :

$\left\{\begin{matrix}x-y=1\\x^2+xy+y^2=1993&\end{matrix}\right.$ và $\left\{\begin{matrix}x-y=1993\\x^2+xy+y^2=1&\end{matrix}\right.$

cả 2 hệ đều không có nghiệm nguyên

[Tuan Hoang Nhat]

$1$: $(x+y)^3-2xy(x+y)=8(x+y)^2-8xy+8\Leftrightarrow a^3-2ab=8a^2-8b+8<=>a^3-8a^2+64-2b(a-4)=72$

$2$

1993 nguyên tố í nhỉ?

Hướng giải vậy lâu lắm, có thể đặt $a=x^{2}+y^{2}$ và $b=x+y$ rồi giải đen-ta cũng được nhưng giải thế rất lâu, tốt nhất nên giải bị kẹp