Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho: $13^{n}-1 \vdots 2^{2015}$
$13^{n}-1 \vdots 2^{2015}$
#1
Posted 16-04-2015 - 21:49
#2
Posted 16-04-2015 - 22:02
Hình như không tìm được
Edited by Hoangtheson2611, 16-04-2015 - 22:03.
#3
Posted 16-04-2015 - 22:09
Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho: $13^{n}-1 \vdots 2^{2015}$
:3 hình như là ko có hay sao í
#4
Posted 16-04-2015 - 22:34
:3 hình như là ko có hay sao í
đề thi cấp tỉnh của tui đó. chả lẽ đề sai
#5
Posted 16-04-2015 - 22:43
đề thi cấp tỉnh của tui đó. chả lẽ đề sai
:3 tỉnh nào ạ, lớp mấy ạ ??
#6
Posted 16-04-2015 - 22:48
Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho: $13^{n}-1 \vdots 2^{2015}$
$13^n-1 \vdots 2^{2015} \Rightarrow 13^n \equiv 1 (mod 2^{2015})$
Theo định lí $EURLE$ ta có:
$n=\varphi(2^{2015})=2^{2015}(1-\frac{1}{2})=2^{2014}$
Vậy $n=2^{2014}$ là số nguyên dương nhỏ nhất cần tìm.
ĐỊNH LÍ $EURLE$:
Giả sử: $m \in N^{*},m>1$,$a \in Z$
$(a,m)=1$
Khi đó: $a^{\varphi(m)} \equiv 1 (mod m)$
Với $\varphi(m)$ là Phi hàm Eurle, được tính theo công thức:
$\varphi(m)=m\prod_{i=1}^{k}(1-\frac{1}{p_{i}})$
trong đó $p_{i},(i=\overline{1,k})$ là các ước nguyên tố của $m$
Edited by Nguyen Minh Hai, 16-04-2015 - 22:54.
#7
Posted 17-04-2015 - 15:47
:3 tỉnh nào ạ, lớp mấy ạ ??
Điện Biên, lớp 10 năm nay
#8
Posted 20-04-2015 - 21:17
$13^n-1 \vdots 2^{2015} \Rightarrow 13^n \equiv 1 (mod 2^{2015})$
Theo định lí $EURLE$ ta có:
$n=\varphi(2^{2015})=2^{2015}(1-\frac{1}{2})=2^{2014}$
Vậy $n=2^{2014}$ là số nguyên dương nhỏ nhất cần tìm.
Định lí Euler không phải lúc nào cũng cho số n nhỏ nhất
Một phản ví dụ:
Edited by Nguyentiendung9372, 20-04-2015 - 21:17.
#9
Posted 20-04-2015 - 21:36
Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho: $13^{n}-1 \vdots 2^{2015}
${\gamma _2}\left( {{{13}^n} - 1} \right) \ge {\gamma _2}\left( {{2^{2015}}} \right) \Leftrightarrow {\gamma _2}\left( {{{13}^2} - {1^2}} \right) + {\gamma _2}\left( n \right) - 1 \ge 2015 \Leftrightarrow 2 + {\gamma _2}\left( n \right) \ge 2015 \Leftrightarrow {\gamma _2}\left( n \right) \ge 2013 \Leftrightarrow n \ge {2^{2013}}$
Vậy GTNN của $n$ là $n = {2^{2013}}$
Mong là không nhầm
Edited by Nguyentiendung9372, 20-04-2015 - 21:37.
- AM GM likes this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users