Chủ đề này có 8 trả lời

[Bichess]

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho: $13^{n}-1 \vdots 2^{2015}$

[Hoangtheson2611]

Hình như không tìm được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoangtheson2611: 16-04-2015 - 22:03

[Caotouyen89]

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho: $13^{n}-1 \vdots 2^{2015}$

:3 hình như là ko có hay sao í

[Bichess]

:3 hình như là ko có hay sao í

đề thi cấp tỉnh của tui đó. chả lẽ đề sai

[Caotouyen89]

đề thi cấp tỉnh của tui đó. chả lẽ đề sai

:3 tỉnh nào ạ, lớp mấy ạ ??

[Nguyen Minh Hai]

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho: $13^{n}-1 \vdots 2^{2015}$

 $13^n-1 \vdots 2^{2015} \Rightarrow 13^n \equiv 1 (mod 2^{2015})$

Theo định lí $EURLE$ ta có:

$n=\varphi(2^{2015})=2^{2015}(1-\frac{1}{2})=2^{2014}$

Vậy $n=2^{2014}$ là số nguyên dương nhỏ nhất cần tìm.  

 

ĐỊNH LÍ $EURLE$:

Giả sử: $m \in N^{*},m>1$,$a \in Z$

$(a,m)=1$

Khi đó: $a^{\varphi(m)} \equiv 1 (mod m)$

Với $\varphi(m)$ là Phi hàm Eurle, được tính theo công thức: 

$\varphi(m)=m\prod_{i=1}^{k}(1-\frac{1}{p_{i}})$ 

trong đó $p_{i},(i=\overline{1,k})$ là các ước nguyên tố của $m$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 16-04-2015 - 22:54

[Bichess]

:3 tỉnh nào ạ, lớp mấy ạ ??

Điện Biên, lớp 10 năm nay

[Nguyentiendung9372]

 $13^n-1 \vdots 2^{2015} \Rightarrow 13^n \equiv 1 (mod 2^{2015})$

Theo định lí $EURLE$ ta có:

$n=\varphi(2^{2015})=2^{2015}(1-\frac{1}{2})=2^{2014}$

Vậy $n=2^{2014}$ là số nguyên dương nhỏ nhất cần tìm.  

Định lí Euler không phải lúc nào cũng cho số n nhỏ nhất

Một phản ví dụ:

${3^{\varphi \left( {20} \right)}} = {3^8} \equiv 1\left( {mo{\rm{d}}20} \right)$

${3^4} \equiv 1\left( {mo{\rm{d}}20} \right)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyentiendung9372: 20-04-2015 - 21:17

[Nguyentiendung9372]

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho: $13^{n}-1 \vdots 2^{2015}

${\gamma _2}\left( {{{13}^n} - 1} \right) \ge {\gamma _2}\left( {{2^{2015}}} \right) \Leftrightarrow {\gamma _2}\left( {{{13}^2} - {1^2}} \right) + {\gamma _2}\left( n \right) - 1 \ge 2015 \Leftrightarrow 2 + {\gamma _2}\left( n \right) \ge 2015 \Leftrightarrow {\gamma _2}\left( n \right) \ge 2013 \Leftrightarrow n \ge {2^{2013}}$

Vậy GTNN của $n$ là $n = {2^{2013}}$

Mong là không nhầm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyentiendung9372: 20-04-2015 - 21:37