Chủ đề này có 3 trả lời

[Ngoc Hung]

Cho x, y, z > 0. Chứng minh $\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{2xyz}+\frac{x^{2}+y^{2}}{z^{2}+xy}+\frac{y^{2}+z^{2}}{x^{2}+yz}+\frac{z^{2}+x^{2}}{y^{2}+zx}\geq \frac{9}{2}$

 

[the man]

Cho x, y, z > 0. Chứng minh $\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{2xyz}+\frac{x^{2}+y^{2}}{z^{2}+xy}+\frac{y^{2}+z^{2}}{x^{2}+yz}+\frac{z^{2}+x^{2}}{y^{2}+zx}\geq \frac{9}{2}$

$A=\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{2xyz}+\frac{x^{2}+y^{2}}{z^{2}+xy}+\frac{y^{2}+z^{2}}{x^{2}+yz}+\frac{z^{2}+x^{2}}{y^{2}+zx}=\sum \left ( \frac{x^2}{2yz}+\frac{x^2}{z^2+xy}+\frac{x^2}{y^2+zx} \right )$

Ta có $\frac{x^2}{2yz}+\frac{x^2}{z^2+xy}+\frac{x^2}{y^2+zx}\geq \frac{9x^2}{2yz+z^2+xy+y^2+zx}=\frac{9x^2}{(x+y+z)(y+z)}$

$\Rightarrow \sum \left ( \frac{x^2}{2yz}+\frac{x^2}{z^2+xy}+\frac{x^2}{y^2+zx} \right )\geq \sum \left ( \frac{9x^2}{(x+y+z)(y+z)} \right )\geq 9.\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)(z+x)+(x+y+z)(y+z)+(x+y+z)(x+y)}=\frac{9}{2}$

Dấu = xảy ra khi $x=y=z$

[dogsteven]

$\dfrac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}\geqslant \dfrac{3}{2}$ và $\sum \dfrac{x^2+y^2}{z^2+xy}\geqslant 3\sqrt[6]{\prod\dfrac{(x^2+y^2)(x^2+z^2)}{(x^2+yz)^2}}\geqslant 3$

Do đó ...

[hoanglong2k]

Cho x, y, z > 0. Chứng minh $\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{2xyz}+\frac{x^{2}+y^{2}}{z^{2}+xy}+\frac{y^{2}+z^{2}}{x^{2}+yz}+\frac{z^{2}+x^{2}}{y^{2}+zx}\geq \frac{9}{2}$

Đã có ở đây