Chủ đề này có 4 trả lời

[Hoang Nhat Tuan]

Cho a,b,c dương thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$

Chứng minh rằng: $(a-1)(b-1)(c-1)\leq \frac{1}{8}(a+1)(b+1)(c+1)$

P/s: Bài này khá dễ

@Dinh Xuan Hung:Chú ý cách đặt tiêu đề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 19-04-2015 - 12:39

[hoanglong2k]

Cho a,b,c dương thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$

Chứng minh rằng: $(a-1)(b-1)(c-1)\leq \frac{1}{8}(a+1)(b+1)(c+1)$

P/s: Bài này khá dễ

Trong đề QB năm nào đó @@

Đặt $(x,y,z)\rightarrow (a^{-1},b^{-1},c^{-1})$ thì $x+y+z=1$

Ta cần chứng minh 

$\prod (1+x)\geq 8\prod (1-x)\Leftrightarrow \prod \left [ (x+y)+(x+z) \right ]\geq 8\prod (x+y)$ ( luôn đúng theo $AM-GM$ )

[Dinh Xuan Hung]

Cho a,b,c dương thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$

Chứng minh rằng: $(a-1)(b-1)(c-1)\leq \frac{1}{8}(a+1)(b+1)(c+1)$

P/s: Bài này khá dễ

Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})=(x,y,z)\Rightarrow x+y+z=1$

BĐT cần chứng minh trở thành

$(x+y)(y+z)(z+x)\leqslant \frac{1}{8}\begin{bmatrix} (x+y)+(x+z) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} (y+z)+(y+x) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} (z+x)+(z+y) \end{bmatrix}$

Áp dụng BĐT Cô si

$(x+y)+(x+z)\geqslant 2\sqrt{(x+y)(x+z)}$

Tương tự $(y+z)+(y+x)\geqslant 2\sqrt{(y+z)(y+x)}$

$(z+x)+(z+y)\geqslant 2\sqrt{(y+z)(z+x)}$

$\Rightarrow VP\geqslant 8\sqrt{(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2}=8(x+y)(y+z)(x+z)=VT$

Vậy ta có đpcm

[Hoang Nhat Tuan]

Trong đề QB năm nào đó @@

Đặt $(x,y,z)\rightarrow (a^{-1},b^{-1},c^{-1})$ thì $x+y+z=1$

Ta cần chứng minh 

$\prod (1+x)\geq 8\prod (1-x)\Leftrightarrow \prod \left [ (x+y)+(x+z) \right ]\geq 8\prod (x+y)$ ( luôn đúng theo $AM-GM$ )

Đề Quảng Bình năm ngoái:

$\sum \frac{a+1}{a}=\sum (\frac{b-1}{b}+\frac{c-1}{c})\geq \sum 2\sqrt{\frac{(b-1)(c-1)}{bc}}$

[longatk08]

Khai triển trực tiếp và đổi biến thì thu đc đk là $x+y+z=1$ và BĐT cần chứng minh tương đương với:

$2+9xyz\geq 7(xy+yz+xz)$

Nếu không muốn dùng $p,q,r$ thì ta có thể đưa cả 2 về dạng thuần nhất khi đó ta sẽ chứng minh:

$2(x^3+y^3+z^3)\geq xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)$