Cho $a, b, c \ge 0$. $a + b + c + abc = 4$. CMR $a + b + c \ge ab + bc + ca$
CMR a + b + c ≥ ab + bc + ca
#1
Đã gửi 20-04-2015 - 21:36
.
Reaper
.
.
The god of carnage
#2
Đã gửi 20-04-2015 - 21:50
#3
Đã gửi 21-04-2015 - 13:19
Đặt $a=\dfrac{2(2-t)}{t^2+1}$ với $0\leqslant t\leqslant 2$. Từ đây ta có $2t-b-c=a(bc-t^2)\Rightarrow (b+c)^2\geqslant 4t^2\geqslant 4bc$. Giả sử $a=\text{min}\{a,b,c\}$ thì $a\leqslant 1$
$(1-a)(b+c-2t)+t^2-bc=(a^2-a-1)(bc-t^2)\geqslant 0$ Do $a^2-a-1<0$ và $bc\leqslant t^2$
Thế thì ta chỉ cần chứng minh $a+2t(1-a)-t^2\geqslant 0\Leftrightarrow (t+2)(t-1)^2(t-2)\geqslant 0$ luôn đúng.
- ZzNightWalkerZz yêu thích
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
#4
Đã gửi 21-04-2015 - 20:49
Mình mới nghĩ ra một cách hay hơn.
$a + b + c + abc \ge 4\sqrt[4]{a^2b^2c^2} = 4\sqrt{abc} => 1 \ge abc => a + b + c \ge 3 => a + b + c \ge 3abc$
Mà $a, b, c \ge 0 => a + b + c \leq 4$
$=> (a + b + c -3)(a + b + c -4) \leq 0$
$<=> (a + b + c)^2 - 7(a + b +c) + 12 \leq 0$
$<=> 4(a + b + c) - 3abc \ge (a + b + c)^2 \ge 3(ab + bc + ca)$
$=> a + b + c \ge ab +bc + ca (Do$ $a + b + c \ge 3abc) (đ.p.c.m)$
- dogsteven yêu thích
.
Reaper
.
.
The god of carnage
#5
Đã gửi 21-04-2015 - 20:53
Đặt $a=\dfrac{2(2-t)}{t^2+1}$ với $0\leqslant t\leqslant 2$. Từ đây ta có $2t-b-c=a(bc-t^2)\Rightarrow (b+c)^2\geqslant 4t^2\geqslant 4bc$. Giả sử $a=\text{min}\{a,b,c\}$ thì $a\leqslant 1$
$(1-a)(b+c-2t)+t^2-bc=(a^2-a-1)(bc-t^2)\geqslant 0$ Do $a^2-a-1<0$ và $bc\leqslant t^2$
Thế thì ta chỉ cần chứng minh $a+2t(1-a)-t^2\geqslant 0\Leftrightarrow (t+2)(t-1)^2(t-2)\geqslant 0$ luôn đúng.
Cho mình xin hỏi cách đặt $a=\dfrac{2(2-t)}{t^2+1}$ có vẻ không tự nhiên. Mong bạn chỉ cho mình vì sao đặt như vậy hoặc bạn có thể chia sẻ bất kì tài liệu gì về cách đặt đó được không ?
.
Reaper
.
.
The god of carnage
#6
Đã gửi 21-04-2015 - 21:56
$4(a+b+c)-3abc\geq 3(ab+bc+ca)$
$a + b + c + abc \ge 4\sqrt[4]{a^2b^2c^2} = 4\sqrt{abc} => 1 \ge abc => a + b + c \ge 3 => a + b + c \ge 3abc$
Mà $a, b, c \ge 0 => a + b + c \leq 4$
$=> (a + b + c -3)(a + b + c -4) \leq 0$
$<=> (a + b + c)^2 - 7(a + b +c) + 12 \leq 0$
$<=> 4(a + b + c) - 3abc \ge (a + b + c)^2 \ge 3(ab + bc + ca)$
$=> a + b + c \ge ab +bc + ca (Do$ $a + b + c \ge 3abc) (đ.p.c.m)$
Bài toán trên có hai dấu "=" là (1,1,1) và (0,2,2)
Theo bài làm của bạn thì $(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$ và $a+b+c\geq 3abc$
Tại (0,2,2) thì dấu "=" không xảy ra
Hơn nữa, do $a+b+c\geq 3abc$ và $4(a+b+c)-3abc\geq 3(ab+bc+ca)$ không thể suy ra được điều phải chứng minh hay sao ấy
- ZzNightWalkerZz yêu thích
TLongHV
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh