Bài toán .Tính tích phân :
$\int_{0}^{\infty }e^{-\frac{t^{2}}{2}}cos\frac{x^{2}}{2t^{2}}dt$
Lời giải:
Ta thấy hàm
$y(x)=\int_{0}^{\infty }e^{-\frac{t^{2}}{2}}cos\frac{x^{2}}{2t^{2}}dt$ thỏa mãn phương trình vi phân
$y^{(iv)}+y=0$. Thật vậy:
$y^{'}=\int_{0}^{\infty }e^{-\frac{t^{2}}{2}}sin\frac{x^{2}}{2t^{2}}\frac{-x}{t^{2}}dt=-\int_{0}^{\infty }e^{-\frac{x^{2}}{2u^{2}}}sin\frac{u^{2}}{2}du$
và $y^{''}=-\int_{0}^{\infty }e^{-\frac{x^{2}}{2u^{2}}}sin\frac{u^{2}}{2}\frac{-x}{u^{2}}du=\int_{0}^{\infty }e^{-\frac{t^{2}}{2}}sin\frac{x^{2}}{2t^{2}}dt$
tiếp tục quá trình tính toán này ta sẽ thu được
$y^{(iv)}=-\int_{0}^{\infty }e^{-\frac{t^{2}}{2}}cos\frac{x^{2}}{2t^{2}}dt$
các kết quả trên chứng minh nhận định của ta.
Dựa vào lý thuyết tổng quát về phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng ta thấy, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã dẫn là :
$y(x)=e^{\frac{x}{\sqrt{2}}}(C_{1}cos\frac{x}{\sqrt{2}}+C_{2}sin\frac{x}{\sqrt{2}})+e^{-\frac{x}{\sqrt{2}}}(C_{3}cos\frac{x}{\sqrt{2}}+C_{4}sin\frac{x}{\sqrt{2}})$
Để tính tích phân ở đầu bài ta đi tìm một nghiệm riêng của phương trình vi phân thỏa mãn $y(0)=\int_{0}^{\infty }e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt=\sqrt{\frac{\pi }{2}}$ ( tích phân dạng Gauss) , $y^{'}(0)=-\int_{0}^{\infty }sin\frac{u^{2}}{2}du=-\frac{\sqrt{\pi }}{2}$ ( tích phân dạng Fresenel ),$y^{''}(0)=0$ và $y^{'''}(0)=\int_{0}^{\infty }cos\frac{u^{2}}{2}du=\frac{\sqrt{\pi }}{2}.$. Dựa vào các điều kiện ban đầu này ta dễ dàng tính được: $C_{1}=C_{2}=C_{3}=0$ và $C_{4}=\sqrt{\frac{\pi }{2}}$
Do vậy ta thấy :
$\int_{0}^{\infty }e^{-\frac{t^{2}}{2}}cos\frac{x^{2}}{2t^{2}}dt=\sqrt{\frac{\pi }{2}}e^{-\frac{x}{\sqrt{2}}}cos\frac{x}{\sqrt{2}}$
Ví dụ trên tương đối đơn giản và là một hình dung cụ thể cho thủ thuật tính tích phân thông qua phương trình vi phân
