Chủ đề này có 4 trả lời

[18tuoi01thangtheoduoi]

Cho a,b,c là các số thực không âm, phân biệt thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$F=\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}$

[khanghaxuan]

Đặt :  $\left\{\begin{matrix} (a-b)^{2}=x & \\ (b-c)(a-c)=y & \end{matrix}\right.$ 

 

$VT=\frac{1}{(a-b)^{2}}+(\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a})^{2}-\frac{2}{(b-c)(c-a)}$

 

    $=\frac{1}{x}+\frac{x}{y^{2}}+\frac{2}{y}$ 

 

Ta lại có :   

$VT=\frac{1}{3}(\sum a^{2})(\frac{1}{x}+\frac{x}{y^{2}}+\frac{2}{y})\geq \frac{1}{3}(x+2y)(\frac{1}{x}+\frac{x}{y^{2}}+\frac{2}{y})$

 

Hay :  $VT\geq \frac{1}{3}(t^{2}+4t+\frac{2}{t}+5)$  (với $t=\frac{x}{y}$)

 

Tới đây khảo sát hàm là xong !!!!

 

Các bài toán khác ( cùng dạng  ) : 

 

 1. $(\sum a^{2}-\sum ab)(\sum \frac{1}{(a-b)^{2}})\geq \frac{27}{4}$

 

  2.  $(\sum a)^{2}(\sum \frac{1}{(a-b)^{2}})\geq 9+6\sqrt{3}$

[longatk08]

Không mất tính tổng quát giả sử $c=min$ {$a,b,c$} khi đó ta có:

 

$3F=(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2})\geq (a^2+b^2)(\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2})$

 

(Do $c\geq 0$ $b-c\leq b,a-c\leq a$)

 

$\Rightarrow F\geq \frac{a^2+b^2}{(a-b)^2}+\frac{a^2+b^2}{a^2}+\frac{b^2+a^2}{b^2}$.Đặt $t=\frac{a}{b}+\frac{b}{a},t>2$

 

Xét hàm $f(t)=t^2+\frac{t}{t-2}$ tìm đc $3F\geq \frac{11+5\sqrt{5}}{2}$

[Bichess]

Đặt :  $\left\{\begin{matrix} (a-b)^{2}=x & \\ (b-c)(a-c)=y & \end{matrix}\right.$ 

 

$VT=\frac{1}{(a-b)^{2}}+(\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a})^{2}-\frac{2}{(b-c)(c-a)}$

 

    $=\frac{1}{x}+\frac{x}{y^{2}}+\frac{2}{y}$ 

 

Ta lại có :   

$VT=\frac{1}{3}(\sum a^{2})(\frac{1}{x}+\frac{x}{y^{2}}+\frac{2}{y})\geq \frac{1}{3}(x+2y)(\frac{1}{x}+\frac{x}{y^{2}}+\frac{2}{y})$

 

Hay :  $VT\geq \frac{1}{3}(t^{2}+4t+\frac{2}{t}+5)$  (với $t=\frac{x}{y}$)

 

Tới đây khảo sát hàm là xong !!!!

 

Các bài toán khác ( cùng dạng  ) : 

 

 1. $(\sum a^{2}-\sum ab)(\sum \frac{1}{(a-b)^{2}})\geq \frac{27}{4}$

 

  2.  $(\sum a)^{2}(\sum \frac{1}{(a-b)^{2}})\geq 9+6\sqrt{3}$

có cách nào làm theo kiểu sơ cấp không ạ. theo kiểu AM-GM ý ạ

hoặc cách nào k dùng đến khảo sát 

[TMW]

Cho a,b,c là các số thực không âm, phân biệt thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$F=\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}$

Xin đề nghị một hướng khai thác như sau hehe

Xét trên trục Ox các điểm A(a,0) B(b,0) và C(c,0)

Gọi G là trọng tâm hệ điểm A,B,C thì G((a+b+c)/3; 0)

Giả thiết cho: a^2 + b^2 + c ^ 2 = 3 tức là OA^2 + OB^2 + OC^2 =3

Bởi vì G là trọng tâm hệ điểm nên:

      3(OA^2 + OB^2 + OC^2 ) - (AB)^2 - (BC)^2 - (CA)^2 = 9 OG^2

Trong đó dễ thấy AB^2 = (a-b)^2..........................................................................