Bài toán. Tìm khai triển Fourier của hàm $f(x)=(\frac{sinnx}{sinx})^{2}$
Lời giải. Từ công thức Euler: $e^{ix}=cosx+isinx$ và đằng thức sau:
$\sum_{k=1}^{n}e^{2ikx}=\frac{e^{2i(n+1)x}-1}{e^{2ix}-1}$ ( chứng minh khá đơn giản nên mình không đưa ra ở đây )
Tách lấy phần thực và phần ảo ta thu được hai hệ thức quan trọng sau :
$cos2x+cos4x+...+cos2nx=\frac{sinnxcos(n+1)x}{sinx}$
$sin2x+sin4x+...+sin2nx=\frac{sinnxsin(n+1)x}{sinx}$
Ta viết lại hàm $f(x)$ lai dưới dạng
$(\frac{sinnx}{sinx})^{2}=\left ( \frac{sinnxsin(n+1)x}{sinx} \right )^{2}+\left ( \frac{sinnxcos(n+1)x}{sinx} \right )^{2}$.
Thay kết quả thu được vào và chú ý đến hằng đẳng thức Lagrange:
$\left ( x_{1}+x_{2}+...x_{n} \right )^{2}=\sum_{i=1}^{n}x^{2}_{i}+2\sum_{1\leqslant k< l\leqslant n}x_{k}x_{l}$, ta thu được :
$f(x)=n+2\sum_{1\leq k< l\leq n}(sin2kxsin2lx+cos2kxcos2lx)$
$=n+2\sum_{1\leq l< k\leq n}cos2(k-l)x$
$=n+2\sum_{m=1}^{n-1}(n-m)cos2mx$.
Do đó ta có khai triển Fourier
$\left ( \frac{sinnx}{sinx} \right )^{2}=n+2\sum_{m=1}^{n-1}(n-m)cos2mx$.
Lưu ý ở các bước cuối bạn cần một chút kiến thức tổ hợp nhỏ.
