Cho $a,b,c,d$ là các số thực thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+d^2=1$. Chứng minh $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)\geq abcd$
Cho $a,b,c,d$ là các số thực thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+d^2=1$. Chứng minh $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)\geq abcd$
Started By eminemdech, 24-04-2015 - 15:18
#1
Posted 24-04-2015 - 15:18
#2
Posted 24-04-2015 - 15:55
Cho $a,b,c,d$ là các số thực thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+d^2=1$. Chứng minh $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)\geq abcd$
Từ giả thiết, ta có: $1-a^2-b^2 =c^2+d^2 \geq 2cd$
Ta sẽ chứng minh: $(1-a)(1-b) \geq cd$
Thật vậy, ta có:
$2(1-a)(1-b)-2cd \geq 2(1-a)(1-b)-1+a^2+b^2 = (1-a-b)^2 \geq 0$
$\Rightarrow (1-a)(1-b) \geq cd$ (1)
Tương tự: $(1-c)(a-d) \geq ab$ (2)
Nhân theo vế (1) và (2) ta có $dpcm$. Xảy ra dấu $"="$ khi $a=b=c=d=\frac{1}{2}$
- hoctrocuaZel, hoctrocuaHolmes, the man and 3 others like this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users