Cho 3 số x,y,z thỏa mãn x,y,z $\epsilon$[-1;3] và x+y+z=3. Chứng minh $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 11$
Chứng minh $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 11$
#1
Đã gửi 26-04-2015 - 09:11
$\lim_{I\rightarrow Math}LOVE=+\infty$
#4
Đã gửi 26-04-2015 - 09:51
Đặt $a+1=x, b+1=y$ và $c+1=z$ thì $a+b+c=0$ và $a,b,c\in [-2,2]$. Do đó $a^2\leqslant 2|a|, b^2\leqslant 2|b|$ và $c^2\leqslant 2|c|$
Vậy là $x^2+y^2+z^2=a^2+b^2+c^2+3\leqslant 2(|a|+|b|+|c|)+3$. Vì $a+b+c=0$ nên tồn tại hai số cùng dấu, giả sử là $a$ và $b$ thì:
$x^2+y^2+z^2\leqslant 2(|a|+|b|+|c|)+3=2|a+b|+2|c|+3=4|c|+3\leqslant 11$
- Nhok Tung yêu thích
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
#5
Đã gửi 26-04-2015 - 10:09
Cho 3 số x,y,z thỏa mãn x,y,z $\epsilon$[-1;3] và x+y+z=3. Chứng minh $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 11$
Làm theo cách này sẽ hay hơn
Từ giả thiết ta có $\left\{\begin{matrix}(x+1)(y+1)(z+1)\geq 0 & & \\ (3-x)(3-y)(3-z)\geq 0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow (x+1)(y+1)(z+1)+(3-x)(3-y)(3-z)\geq 0$
Khai triển và rút gọn ta được $4+4(xy+yz+xz)\geq 0\Rightarrow 2(xy+yz+xz)\geq -2$
$\Rightarrow x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)\leq 3^2-(-2)=11$
Dấu = xảy ra khi $(x,y,z)=(-1;3;1)$ và các hoán vị
- hoctrocuaHolmes và Nhok Tung thích
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh