Chủ đề này có 2 trả lời

[25 minutes]

Cho $a,b,c$ là các số không âm

Chứng minh rằng:

        $\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{1}{b^3+c^3}+\frac{1}{c^3+a^3}\geqslant \frac{20}{(a+b+c)^3}$

Tương tự chứng minh :

       $\frac{1}{a^4+b^4}+\frac{1}{b^4+c^4}+\frac{1}{c^4+a^4}\geqslant \frac{40}{(a+b+c)^4}$

[TMW]

Cho $a,b,c$ là các số không âm

Chứng minh rằng:

        $\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{1}{b^3+c^3}+\frac{1}{c^3+a^3}\geqslant \frac{20}{(a+b+c)^3}$

Tương tự chứng minh :

       $\frac{1}{a^4+b^4}+\frac{1}{b^4+c^4}+\frac{1}{c^4+a^4}\geqslant \frac{40}{(a+b+c)^4}$

Ý của người ra đề là bảo ta đi chứng minh bất đẳng thức tổng quát đây mà...............................

$\frac{1}{x^{n}+y^{n}}+\frac{1}{y^{n}+z^{n}}+\frac{1}{z^{n}+y^{n}}\geq \frac{5.2^{n-1}}{(x+y+z)^{n}}$ với x,y,z không âm

[TMW]

Đơn giản như sau:

z = min {x,y,z}

        $x^{n}+z^{n}\leq (x+\frac{z}{2})^{n}$

        $y^{n}+z^{n}\leq (y+\frac{z}{2})^{n}$

        $x^{n}+y^{n}\leq (x+\frac{z}{2})^{n}+(y+\frac{z}{2})^{n}$

Và ta có bổ đề với các số a, b không âm

        $\frac{1}{a^{n}}+\frac{1}{b^{n}}+\frac{1}{a^{n}+b^{n}}\geq \frac{5.2^{n-1}}{(a+b+c)^{n}}$