Chủ đề này có 9 trả lời

[hoanglong2k]

Cho $a,b,c$ thoả mãn $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$. Chứng minh rằng :

    $\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ca+1}+\frac{c}{ab+1}\leq 2$

[dogsteven]

$a=b=c=0\Rightarrow VT=0$

$a+b+c\ne 0$: $(b-1)(c-1)\geqslant 0\Leftrightarrow bc+1\geqslant b+c\Rightarrow \dfrac{a}{bc+1}\leqslant \dfrac{2a}{a+b+c}\Rightarrow VT\leqslant 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 29-04-2015 - 20:09

[shinichikudo201]

$a=b=c=0\Rightarrow VT=0$

$a+b+c\ne 0$: $(b-1)(c-1)\geqslant 0\Leftrightarrow bc+1\geqslant b+c\Rightarrow \dfrac{a}{bc+1}\leqslant$ $ \dfrac{2a}{a+b+c}\Rightarrrow VT\leqslant 2$

Từ đây khó có thể suy ra được ngay ĐPCM.

Bởi vì tới BĐT $\frac{c}{ab+1}\leq \frac{c}{a+b}$ chẳng hạn.

Ta khi đó sẽ phải chỉ ra $\frac{c}{a+b}\leq \frac{2c}{a+b+c}$

Nhưng điều này chỉ đúng khi $\frac{c}{a+b}\leq 1 \Leftrightarrow c\leq a+b$

Từ giả thiết không thể khẳng định được điều này.

[arsfanfc]

$a=b=c=0\Rightarrow VT=0$

$a+b+c\ne 0$: $(b-1)(c-1)\geqslant 0\Leftrightarrow bc+1\geqslant b+c\Rightarrow \frac{a}{bc+1}\leqslant \dfrac{2a}{a+b+c} \Rightarrrow  VT\leqslant 2$

chổ đó bạn xem lại

$=> \frac{a}{bc+1} \leq \frac{a}{b+c} < \frac{2a}{a+b+c}$

[dogsteven]

Từ đây khó có thể suy ra được ngay ĐPCM.

Bởi vì tới BĐT $\frac{c}{ab+1}\leq \frac{c}{a+b}$ chẳng hạn.

Ta khi đó sẽ phải chỉ ra $\frac{c}{a+b}\leq \frac{2c}{a+b+c}$

Nhưng điều này chỉ đúng khi $\frac{c}{a+b}\leq 1 \Leftrightarrow c\leq a+b$

Từ giả thiết không thể khẳng định được điều này.

$a\leqslant 1\leqslant 1+bc$

Do đó $\dfrac{a}{bc+1}\leqslant \dfrac{2a}{a+bc+1}\leqslant \dfrac{2a}{a+b+c}$ ok?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 29-04-2015 - 20:10

[Nguyen Minh Hai]

Cho $a,b,c$ thoả mãn $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$. Chứng minh rằng :

    $\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ca+1}+\frac{c}{ab+1}\leq 2$

Ta có bài toán tổng quát sau:

Cho $n (n \geq 2)$ số $a_{1};a_{2};...;a_{n}$ sao cho $0 \leq a_{i} \leq 1$ với $i=\overline{1,n}$

Khi đó: $\frac{a_{1}}{a_{2}.a_{3}...a_{n}+1}+\frac{a_{2}}{a_{1}.a_{3}...a_{n}+1}+...+\frac{a_{n}}{a_{1}.a_{2}...a_{n-1}+1} \leq n-1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 29-04-2015 - 20:25

[tonarinototoro]

$a\leqslant 1\leqslant 1+bc$

Do đó $\dfrac{a}{bc+1}\leqslant \dfrac{2a}{a+bc+1}$$\leqslant \dfrac{2a}{a+b+c}$ ok?

cho mình hỏi bạn dùng bất đẳng thức gì ở đây vậy? có phải là $\frac{x}{y}\leq \frac{x+m}{y+m}$?

và có phải bạn cũng áp dụng bđt trên với $\frac{b}{ca+1},\frac{c}{ab+1}$ ?

[tonarinototoro]

Cho $a,b,c$ thoả mãn $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$. Chứng minh rằng :

    $\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ca+1}+\frac{c}{ab+1}\leq 2$

 

$a=b=c=0\Rightarrow VT=0$

$a+b+c\ne 0$: $(b-1)(c-1)\geqslant 0\Leftrightarrow bc+1\geqslant b+c\Rightarrow \dfrac{a}{bc+1}\leqslant \dfrac{2a}{a+b+c}\Rightarrow VT\leqslant 2$

xin phép được "mượn" ý tưởng của @dogsteven

+) a=0=>$VT=b+c\leq 2."="\Leftrightarrow b=c=1$

+) a>0 => b,c>0

$\left ( b-1 \right )\left ( c-1 \right )\geq 0\Rightarrow bc+1\geq b+c \Rightarrow \frac{a}{bc+1}= \frac{2a}{bc+1+1+bc}\leq \frac{2a}{b+c+a+bc}< \frac{2a}{a+b+c}$

thiết lập các bđt tương tự có VT<2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tonarinototoro: 30-04-2015 - 08:37

[Nguyen Duc Phu]

xin phép được "mượn" ý tưởng của @dogsteven

+) a=0=> VT=2

+) a>0 => b,c>0

$\left ( b-1 \right )\left ( c-1 \right )\geq 0\Rightarrow bc+1\geq b+c \Rightarrow \frac{a}{bc+1}= \frac{2a}{bc+1+1+bc}\leq \frac{2a}{b+c+a+bc}< \frac{2a}{a+b+c}$

thiết lập các bđt tương tự có VT<2

Đề bài cho là bé hơn hoặc bằng 2 kia mà?

[tonarinototoro]

Đề bài cho là bé hơn hoặc bằng 2 kia mà?

với a>0 thì VT<2

a=0 thì VT$\leq 2."="\Leftrightarrow b=c=1$