Chủ đề này có 1 trả lời

[huuhieuht]

Cho $a,b,c$ là các số không nhỏ hơn $-\frac{3}{2}$ và thỏa mãn điều kiện:

   $abc+ab+ac+bc+a+b+c\geq 0$ .Chứng minh rằng: $a+b+c\geq 0$

[Nguyen Minh Hai]

Cho $a,b,c$ là các số không nhỏ hơn $-\frac{3}{2}$ và thỏa mãn điều kiện:

   $abc+ab+ac+bc+a+b+c\geq 0$ .Chứng minh rằng: $a+b+c\geq 0$

Ta có:

$abc+ab+bc+ca+a+b+c \geq 0$

$\Leftrightarrow (a+1)(b+1)(c+1) \geq 1$

Do đó xảy ra 2TH:

- TH1: Nếu cả  $3$ số $(a+1);(b+1);(c+1)$ cùng dương:

$AM-GM$ ta có: $1 \leq (a+1)(b+1)(c+1) \leq (\frac{a+b+c+3}{3})^3$

$\Rightarrow a+b+c \geq 0$

-TH2: Trong  $3$ số $(a+1);(b+1);(c+1)$  có $2$ số âm và $1$ số dương.

Giả sử $a \geq b \geq c$ thì:

$\frac{-1}{2}\leq (b+1),(c+1)<0$ $\Rightarrow (b+1)(c+1) \leq \frac{1}{4}$

Do đó để $(a+1)(b+1)(c+1) \geq 1$ thì $a+1 \geq 4 \Rightarrow a \geq 3$

Nên: $a+b+c \geq 3+\frac{-3}{2}+\frac{-3}{2}=0$

Từ đó có $dpcm$. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 01-05-2015 - 09:50