Chủ đề này có 4 trả lời

[dogsteven]

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng: $\dfrac{a^7}{a^6+b^6}+\dfrac{b^7}{b^6+c^6}+\dfrac{c^7}{c^6+a^6}\geqslant \dfrac{a+b+c}{2}$

P/s: Bên AoPS đăng cả mấy tháng chưa ai giải giúp.

[nhungvienkimcuong]

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng: $\dfrac{a^7}{a^6+b^6}+\dfrac{b^7}{b^6+c^6}+\dfrac{c^7}{c^6+a^6}\geqslant \dfrac{a+b+c}{2}$

P/s: Bên AoPS đăng cả mấy tháng chưa ai giải giúp.

hơi spam nhưng đây là một bài dùng chia để trị nổi tiếng trong cuốn kim cương

Spoiler

anh biết em biết cái này,phương pháp này cũng có trong một topic nào đó ở diễn đàn mình

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 02-05-2015 - 17:07

[taideptrai]

bạn đăng luôn cách giải đi

[ducvipdh12]

thực sự mà nói thì bài tóan này khó,đoạn đầu định tổng quát hóa bài tóan rồi dùng quy nạp nhưng càng rối,cuối cùng cũng phải sử dụng cách này @@,nhưng còn bước tìm khoảng để xét anh chưa tìm được,em thử tìm xem:

từ GT ta cần CM:

$a.\frac{a^6-b^6}{a^6+b^6}+b.\frac{b^6-c^6}{b^6+c^6}+c.\frac{c^6-a^6}{c^6+a^6}\geq 0\Leftrightarrow (a-c).\frac{a^6-b^6}{a^6+b^6}+(b-c).\frac{b^6-c^6}{b^6+c^6}+c.(\frac{a^6-b^6}{a^6+b^6}+\frac{b^6-c^6}{b^6+c^6}+\frac{c^6-a^6}{c^6+a^6})\geq 0\Leftrightarrow (a-c).\frac{a^6-b^6}{a^6+b^6}+(b-c).\frac{b^6-c^6}{b^6+c^6}-c.(\frac{a^6-b^6}{a^6+b^6}.\frac{b^6-c^6}{b^6+c^6}.\frac{c^6-a^6}{c^6+a^6})\geq 0$ ( áp dụng đẳng thức quen thuộc $x+y+z+xyz=0$ với $x=\frac{a^6-b^6}{a^6+b^6};y=\frac{b^6-c^6}{b^6+c^6};z=\frac{c^6-a^6}{c^6+a^6}$ )

giả sử rằng a=max{a,b,c}.

TH1: nếu $b\geq c$ thì BĐT được CM xong

TH2: nếu $a\geq c\geq b$ ta có thể chuẩn hóa c=1.Từ đó ta có:

$(a-1)\frac{1+b^6}{1-b^6}+\frac{2}{a^6+1}+\frac{2(1-b)b^6}{a^6-b^6}-b\geq 0$ đến đây phải chia khỏang theo b,khá là khó khăn và mới tìm được 3 mốc của b là 0;0,6;1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducvipdh12: 03-05-2015 - 16:57

[dogsteven]

Nhờ mod xóa giúp.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 10-05-2015 - 21:08