Chủ đề này có 2 trả lời

[hoctrocuaZel]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$

Tìm GTNN của biểu thức: $P=\frac{xy}{1+z^2}+\frac{yz}{1+x^2}+\frac{x^3y^3+y^3z^3}{24x^3z^3}$

 

[Ngoc Hung]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$

Tìm GTNN của biểu thức: $P=\frac{xy}{1+z^2}+\frac{yz}{1+x^2}+\frac{x^3y^3+y^3z^3}{24x^3z^3}$

 

Ta có $1+z^{2}=(x^{2}+z^{2})+(y^{2}+z^{2})\geq 2\sqrt{(x^{2}+z^{2})(y^{2}+z^{2})}\Rightarrow \frac{xy}{1+z^{2}}\leq \frac{xy}{2\sqrt{(x^{2}+z^{2})(y^{2}+z^{2})}}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{x^{2}}{x^{2}+z^{2}} +\frac{y^{2}}{y^{2}+z^{2}}\right )\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{x^{2}}{x^{2}+z^{2}}+\frac{y}{2z} \right )$

Tương tự ta cũng có $\frac{yz}{1+x^{2}}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{z^{2}}{x^{2}+z^{2}} +\frac{y}{2x}\right )\Rightarrow \frac{xy}{1+z^{2}}+\frac{yz}{1+x^{2}}\leq \frac{1}{4}+\frac{1}{8}\left ( \frac{y}{x}+\frac{y}{z} \right )$

Mặt khác áp dụng BĐT $a^{3}+b^{3}\geq \frac{(a+b)^{3}}{4}$ với a, b > 0.

Ta có $x^{3}y^{3}+y^{3}z^{3}\geq \frac{(xy+yz)^{3}}{4}\Rightarrow \frac{x^{3}y^{3}+y^{3}z^{3}}{24x^{3}z^{3}}\geq \frac{1}{96}\left ( \frac{y}{x}+\frac{y}{z} \right )^{3}$

Đặt $\frac{y}{x}+\frac{y}{z}=t> 0\Rightarrow P\leq \frac{1}{4}+\frac{t}{8}-\frac{t^{3}}{96}=\frac{5}{12}-\frac{(t+4)(t-2)^{2}}{96}\leq \frac{5}{12}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 03-05-2015 - 10:32

[Bonjour]

Ta có $1+z^{2}=(x^{2}+z^{2})+(y^{2}+z^{2})\geq 2\sqrt{(x^{2}+z^{2})(y^{2}+z^{2})}\Rightarrow \frac{xy}{1+z^{2}}\leq \frac{xy}{2\sqrt{(x^{2}+z^{2})(y^{2}+z^{2})}}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{x^{2}}{x^{2}+z^{2}} +\frac{y^{2}}{y^{2}+z^{2}}\right )\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{x^{2}}{x^{2}+z^{2}}+\frac{y}{2z} \right )$

Tương tự ta cũng có $\frac{yz}{1+x^{2}}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{z^{2}}{x^{2}+z^{2}} +\frac{y}{2x}\right )\Rightarrow \frac{xy}{1+z^{2}}+\frac{yz}{1+x^{2}}\leq \frac{1}{4}+\frac{1}{8}\left ( \frac{y}{x}+\frac{y}{z} \right )$

 

Tìm $Min$ ???

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bonjour: 03-05-2015 - 16:40