Chủ đề này có 4 trả lời

[HatNangNgoaiThem]

Cho các số dương x, y thỏa mãn: $x^{3}+y^{3}= x-y$. CMR: $x^{2}+y^{2}< 1$

[hoanglong2k]

Cho các số dương x, y thỏa mãn: $x^{3}+y^{3}= x-y$. CMR: $x^{2}+y^{2}< 1$

Ta có $x-y=x^3+y^3> 0\Rightarrow x>y>0$

 

Lại có $x-y=x^3+y^3> x^3-y^3=(x-y)(x^2+y^2+xy)\Rightarrow 1>x^2+y^2+xy>x^2+y^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 03-05-2015 - 14:56

[hoctrocuaHolmes]

Cho các số dương x, y thỏa mãn: $x^{3}+y^{3}= x-y$. CMR: $x^{2}+y^{2}< 1$

Ta có $1-x^{2}-y^{2}=x^{3}+y^{3}-x+y-x^{2}-y^{2}+1=(x^{3}-x^{2}-x+1)+(y^{3}-y^{2}+y)=(x-1)^{2}(x+1)+y(y-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}y\geq 0\forall x,y> 0\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}< 1(đpcm)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 03-05-2015 - 14:58

[HatNangNgoaiThem]

Giải bài nữa đc k?

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}= \frac{7}{4}$. CMR: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}$

[Ngoc Hung]

Giải bài nữa đc k?

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}= \frac{7}{4}$. CMR: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}$

 

$c(a+b)\leq \frac{c^{2}+(a+b)^{2}}{2}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}+ab=\frac{7}{8}+ab$

$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\leq \frac{7}{8abc}+\frac{1}{c}\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\leq \frac{7}{8abc}< \frac{1}{abc}$