Chủ đề này có 5 trả lời

[Khoai Lang]

Cho $a,bc,c$ là các số dương thỏa mãn $a+b+c=1$

Tìm Min $P=\dfrac{a}{a^{2}+8bc}+\dfrac{b}{b^{2}+8ac}+\dfrac{c}{c^{2}+8ab}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoai Lang: 04-05-2015 - 14:38

[caovannct]

Tìm Min $P=\dfrac{a}{a^{2}+8bc}+\dfrac{b}{b^{2}+8ac}+\dfrac{c}{c^{2}+8ab}$

không có điều kiện gì hả bạn

[ducvipdh12]

ta có:

$P=\frac{a^2}{a^3+8abc}+\frac{b^2}{b^3+8abc}+\frac{c^2}{c^3+8abc}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^3+b^3+c^3+24abc}\geq \frac{1}{a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{1}{(a+b+c)^3}= 1$

[Khoai Lang]

$\frac{(a+b+c)^2}{a^3+b^3+c^3+24abc}\geq \frac{1}{a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)}$

Dòng trên sao có được vậy bạn?

[Truong Anh]

Dòng trên sao có được vậy bạn?

Có:

$a+b\geq 2\sqrt{ab}$

$b+c\geq 2\sqrt{bc}$

$c+a\geq 2\sqrt{ac}$

$\Rightarrow 3(a+b)(b+c)(c+a)\geq 24abc$

[arsfanfc]

Dòng trên sao có được vậy bạn?

xét hiệu :  $a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a) -a^3+b^3+c^3+24abc $

$<=> a^2b+a^2c+b^2a+b^2b+c^2a+c^2b-6abc \geq 6abc-6abc =0$

$=> a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a) \geq a^3+b^3+c^3+24abc$

=> đpcm