Chủ đề này có 7 trả lời

[MyMy ZinDy]

Tìm Min $M=x^{2}+y^{2}-xy-x+y+1$

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MyMy ZinDy: 04-05-2015 - 15:48

[marcoreus101]

$M=(x^2-2x+1)+(y^2-2y+1)-xy+x+y-1=(x-1)^2+(y-1)^2-(x-1)(y-1)=[(x-1)+\frac{1}{2}(y-1)]^2+\frac{3}{4}(y-1)^2\geq 0$

$Min(M)=0$ khi $x=1;y=1$

Spoiler

Nhìn nhầm đề, tham khảo ở đây: https://vn.answers.yahoo.com/question/index?qid=20130314031824AA9YCmg  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi marcoreus101: 04-05-2015 - 16:03

[dogsteven]

Đặt $a=-x, b=y$ thì $M=(a+b)^2+(a+b)-ab+1$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $-ab\geqslant \dfrac{(a+b)^2}{4}$ hay $M\geqslant \dfrac{-(-3a-3b-1)(3a+3b+3)+9}{12}$

Áp dụng tiếp AM-GM cho ta $-(-3a-3b-1)(3a+3b+3)\geqslant \dfrac{-(-3a-3b-1+3a+3b+3)^2}{4}=-1$

Do đó $M\geqslant \dfrac{2}{3}$

[NPTV1207]

Tìm Min $M=x^{2}+y^{2}-xy-x+y+1$

$M= (\frac{x^{2}}{4}-\frac{2x}{4}+\frac{1}{4})-2.\frac{x-1}{2}.y+y^{2}+(\frac{3}{4}.x^{2}-\frac{x}{2}+\frac{3}{4})$

=$(\frac{x-1}{2}-y)^{2}+\frac{1}{4}.(3x^{2}-2x+3)$

$(\frac{x-1}{2}-y)^{2}+\frac{1}{4}.(\sqrt{3}.x-\frac{1}{\sqrt{3}})^{2}+\frac{2}{3}\geq \frac{2}{3}$

Dau "=" xay ra khi x=1/3; y=-1/3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NPTV1207: 04-05-2015 - 19:40

[Hkai Bao]

$M=(x-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}(y+\frac{1}{3})^{3}+\frac{2}{3}\geq \frac{2}{3}$

dấu = xảy ra khi y=-1/3;x=1/3

[Truong Anh]

Đặt $a=-x, b=y$ thì $M=(a+b)^2+(a+b)-ab+1$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $-ab\geqslant \dfrac{(a+b)^2}{4}$ hay $M\geqslant \dfrac{-(-3a-3b-1)(3a+3b+3)+9}{12}$

Áp dụng tiếp AM-GM cho ta $-(-3a-3b-1)(3a+3b+3)\geqslant \dfrac{-(-3a-3b-1+3a+3b+3)^2}{4}=-1$

Do đó $M\geqslant \dfrac{2}{3}$

bạn ơi, chưa có điều kiện x,y> thì sao có thể áp dụng bất đẳng thức AM-GM được

[MyMy ZinDy]

$M=(x-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}(y+\frac{1}{3})^{3}+\frac{2}{3}\geq \frac{2}{3}$

dấu = xảy ra khi y=-1/3;x=1/3

Sao lại là mũ 3 vậy bạn ? Đề bài của mình đâu có $y^{3}$ đâu.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MyMy ZinDy: 05-05-2015 - 01:22

[dogsteven]

bạn ơi, chưa có điều kiện x,y> thì sao có thể áp dụng bất đẳng thức AM-GM được

Mình áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho số dương là $a^2$ và $b^2$:

$a^2+b^2\geqslant 2|ab|\geqslant 2ab\Rightarrow (a+b)^2\geqslant 4ab$ đúng với mọi số thực $a,b$