Cho ba số không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$.Chứng minh $\frac{1-a}{2-a}+\frac{1-b}{2-b}+\frac{1-c}{2-c}\geq 3(1-a)(1-b)(1-c)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 07-05-2015 - 04:34
Chứng minh $\frac{1-a}{2-a}+\frac{1-b}{2-b}+\frac{1-c}{2-c}\geq 3(1-a)(1-b)(1-c)$
Bắt đầu bởi grigoriperelmanlapdi, 06-05-2015 - 18:06
#2
Đã gửi 06-05-2015 - 18:40
hoanglong2k
-
- Điều hành viên THCS
-
- 965 Bài viết
Trung úy
Cho ba số không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$.Chứng minh $\frac{1-a}{2-a}+\frac{1-b}{2-b}+\frac{1-c}{2-c}\geq 3(1-a)(1-b)(1-c)$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
$VT\geq 3\sqrt[3]{\frac{(1-a)(1-b)(1-c)}{(2-a)(2-b)(2-c)}}$
Vậy ta chỉ cần chứng minh $[(1-a)(1-b)(1-c)]^2(2-a)(2-b)(2-c)\leq 1$
Mặt khác theo AM-GM thì
$[(1-a)(1-b)(1-c)]^2(2-a)(2-b)(2-c)\leq \left [ \left ( \frac{3-a-b-c}{3} \right )^3 \right ]^2.\left ( \frac{6-a-b-c}{3} \right )^3$
$=\frac{64}{729}.\frac{125}{27}=\frac{8000}{19683}<1$
Dấu "=" của bài toán không xảy ra 
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
