Chủ đề này có 1 trả lời

[Supermath98]

1. Cho a,b,c dương thỏa mãn $b+c=a\left ( b^{2}+c^{2} \right )$

Tìm GTNN của biểu thức 

$A=\frac{1}{\left ( 1+x \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( 1+y \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( 1+z \right )^{2}}+\frac{4}{\left ( 1+x \right )\left ( 1+y \right )\left ( 1+z \right )}$

 

 

2. CHo a,b,c dương thỏa mãn $\large \sum ab=3$

CMR:   $\large \sum \frac{1}{1+a^{2}\left ( b+c \right )}\leq \frac{1}{abc}$

[binhnhaukhong]

1.Theo giả thiết bài toán thì $y+z=x(y^2+z^2)\geq x.\frac{(y+z)^2}{2}\Rightarrow y+z\leq  \frac{2}{x}$

 

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}\geq \frac{2}{(1+y)(1+z)}\geq \frac{8}{(y+z+2)^2}\geq \frac{8}{(\frac{2}{x}+2)^2}=\frac{2x^2}{(x+1)^2}$

 

Có $\frac{1}{(1+y)(1+x)(1+z)}\geq \frac{4}{(1+x)(y+z+2)^2}\geq \frac{4}{(1+x)(\frac{2}{x}+2)^2}=\frac{x^2}{(x+1)^3}$

Vậy $A\geq f(x)=\frac{2x^3+6x^2+x+1}{(1+x)^3}$.Xét hàm này với $x>0$ thì được $Min=\frac{91}{108}$ khi $x=\frac{1}{5},y=z=5$

Bài 2:

Sử dụng đánh giá $1\geq abc$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhnhaukhong: 08-05-2015 - 22:31