Chủ đề này có 1 trả lời

[Namthemaster1234]

Chứng minh phương trình nghiệm nguyên $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}$ với n là số tự nhiên viết dưới dạng chuẩn tắc $n=p_1^{\alpha _1}.p_2^{\alpha _2}...p_k^{\alpha _k}$

 

có số nghiệm nguyên đúng bằng $(2\alpha_1+1 )\times (2\alpha_2+2 )...(2\alpha_k+1 )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 09-05-2015 - 22:24

[ZzNightWalkerZz]

Bài toán chỉ đúng với x,y > 0

Để ý $(2a_{1} + 1)(2a_{2} + 1)...(2a_{k} + 1) =$ Số ước của $n^{2}$

Ta có : $\frac{1}{y} = \frac{1}{n} - \frac{1}{x} = \frac{x - n}{xn} <=> y = \frac{xn}{x - n}$

$=> xn \vdots x - n <=>  xn - (xn - n^{2}) \vdots x - n <=> n^{2} \vdots x - n$

$<=> x - n \in U(n^{2}) =>$ có $(2a_{1} + 1)(2a_{2} + 1)...(2a_{k} + 1)$ giá trị x thỏa mãn => đ.p.c.m