4 replies to this topic

[Nguyen Minh Hai]

Cho $P=\frac{1}{2}[ (6+\sqrt{7})^{10}+(6-\sqrt{7})^{10}]$

CMR giá trị của $P$ là một số nguyên.

P/s: Ai có cách giải hay hay trình bày với.

[hoctrocuaZel]

Cho $P=\frac{1}{2}[ (6+\sqrt{7})^{10}+(6-\sqrt{7})^{10}]$

CMR giá trị của $P$ là một số nguyên.

P/s: Ai có cách giải hay hay trình bày với.

Chú ý rằng: $(a-b)^{2k}+(a+b)^{2k}=2.(a^{2k}+b^{2k}+C^2_{2k}.a^{2k-2}.b^2+...)$

Cách khác:

Với $n=2$ đúng.

$gs:\frac{1}{2}((6+\sqrt{7})^{2n}+(6-\sqrt{7})^{2n})\in Z\Rightarrow \frac{1}{2}((6+\sqrt{7})^{2n+2}+(6-\sqrt{7})^{2n+2})\in Z$

[qthai176]

P= 1166892763

Edited by qthai176, 10-05-2015 - 09:01.

[qthai176]

http://diendantoanho...huyên/?p=506075tham khảo ở đây ^^ 

[dogsteven]

Đặt $x_n=(6+\sqrt{7})^n+(6-\sqrt{7})^n$, khi đó dễ dàng chứng minh $x_{n+2}=12x_{n+1}-29x_{n}$ (Dùng định lý Viete)

Ta sẽ chứng minh $x_n$ là số nguyên chẵn với mọi $n$ tự nhiên.

Xét $n=0$ và $n=1$ thì kết luận trên là đúng.

Giả sử kết luận trên đúng với $n=k$ và $n=k+1$, với $n=k+2$ thì $x_{k+2}=12x_{k+1}-29x_{k}$ hiển nhiên là một số nguyên chẵn.

Do đó $x_n$ là số nguyên chẵn với mọi $n$ tự nhiên. Chọn $n=10$ cho ta điều phải chứng minh.