Chủ đề này có 11 trả lời

[Dung Du Duong]

Cho a,b,c > 0. CMR: $\sum \frac{a^{3}}{2a^{2}-ab+3b^{2}} \geqslant \frac{a+b+c}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Du Duong: 10-05-2015 - 15:10

[hoanglong2k]

Cho a,b,c là các số thực. CMR: $\sum \frac{a^{3}}{2a^{2}-ab+3b^{2}} \geqslant \frac{a+b+c}{4}$

Bài toán thiếu điều kiện của $a,b,c$ thì phải. Cho $a=b=-9$ và $c=-5$ thì bất đẳng thức trên sai

[Dung Du Duong]

Bài toán thiếu điều kiện của $a,b,c$ thì phải. Cho $a=b=-9$ và $c=-5$ thì bất đẳng thức trên sai

Xin lỗi các bạn, mình viết sai đề bài

[lahantaithe99]

Cho a,b,c là các số thực. CMR: $\sum \frac{a^{3}}{2a^{2}-ab+3b^{2}} \geqslant \frac{a+b+c}{4}$

 

BĐT như thế này thì tự hiểu nó là nguyên dương!

 

Đặt biểu thức vế trái là $A$ thì áp dụng Cauchy Schwarz ta có

 

$A=\sum \frac{a^4}{2a^3-a^2b+3ab^2}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^3+b^3+c^3)-\sum a^2b+3\sum ab^2}\geq \frac{a+b+c}{4}$

 

$\Leftrightarrow 4(a^2+b^2+c^2)^2\geq (a+b+c)\left [ 2(a^3+b^3+c^3)-\sum a^2b+3\sum ab^2 \right ]$

 

$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)^2\geq \sum a^3b+5\sum ab^3$ $(*)$

 

Có BĐT phụ quen thuộc sau: $(a^2+b^2+c^2)^2\geq 3(a^3b+b^3c+c^3a)$ hoặc $(a^2+b^2+c^2)^2\geq 3(ab^3+bc^3+ca^3)$

 

Sử dụng BĐT trên ta có ngay $(*)$ nên ta có đpcm.

 

----------------------------------------------------------------------------

Chứng minh BĐT phụ

 

Áp dụng bất đẳng thức $(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+xz)$ thì đặt $(x,y,z)=(a^2+bc-ab,b^2+ac-bc,c^2+ab-ac)$ ta có ngay đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 10-05-2015 - 15:36

[Dung Du Duong]

BĐT như thế này thì tự hiểu nó là nguyên dương!

 

Đặt biểu thức vế trái là $A$ thì áp dụng Cauchy Schwarz ta có

 

$A=\sum \frac{a^4}{2a^3-a^2b+3ab^2}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^3+b^3+c^3)-\sum a^2b+3\sum ab^2}\geq \frac{a+b+c}{4}$

 

$\Leftrightarrow 4(a^2+b^2+c^2)^2\geq (a+b+c)\left [ 2(a^3+b^3+c^3)-\sum a^2b+3\sum ab^2 \right ]$

 

$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)^2\geq \sum a^3b+5\sum ab^3$ $(*)$

 

Có BĐT phụ quen thuộc sau: $(a^2+b^2+c^2)^2\geq 3(a^3b+b^3c+c^3a)$ hoặc $(a^2+b^2+c^2)^2\geq 3(ab^3+bc^3+ca^3)$

 

Sử dụng BĐT trên ta có ngay $(*)$ nên ta có đpcm.

 

----------------------------------------------------------------------------

Chứng minh BĐT phụ

 

Áp dụng bất đẳng thức $(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+xz)$ thì đặt $(x,y,z)=(a^2+bc-ab,b^2+ac-bc,c^2+ab-ac)$ ta có ngay đpcm

Mình nghĩ đoạn cuối cùng có vấn đề:

Liệu BĐT cuối cùng: (a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c)$\geqslant 0$ với mọi a,b,c dương đc không!

Bạn thử tính kĩ lại xem

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Du Duong: 10-05-2015 - 20:34

[chungtoiladantoan99]

Mình nghĩ đoạn cuối cùng có vấn đề:

Liệu BĐT cuối cùng: (a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c)$\geqslant 0$ với mọi a,b,c dương đc không!

Bạn thử tính kĩ lại xem

đúng đấy! Giả sử $b\geq c\geq a$ thì BĐT trên đúng

[Dung Du Duong]

đúng đấy! Giả sử $b\geq c\geq a$ thì BĐT trên đúng

tớ cũng biết vậy, nhưng mà nếu như $b\geqslant a\geqslant c$ thì nó lại ko đc, nó ko có vai trò giống nhau

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Du Duong: 21-05-2015 - 19:21

[chungtoiladantoan99]

tớ cũng biết vậy, nhưng mà nếu như $b\geqslant a\geqslant c$ thì nó lại ko đc, nó ko có vai trò giống nhau

vai trò của các biến là bình đẳng như nhau

[Dung Du Duong]

vai trò của các biến là bình đẳng như nhau

thế cậu giải thích sao về việc $b\geqslant a\geqslant c$ thì lại ko thỏa mãn!

[ducvipdh12]

vai trò của các biến là bình đẳng như nhau

nhầm rồi nhé,vai trò các biến là hóan vị vòng quanh chơ không phải là bình đẳng như nhau nên chỉ có thể giả sử 1 trong 3 biến a,b,c là min hoặc max

[dogsteven]

Mình nghĩ đoạn cuối cùng có vấn đề:

Liệu BĐT cuối cùng: (a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c)$\geqslant 0$ với mọi a,b,c dương đc không!

Bạn thử tính kĩ lại xem

Em thấy đoạn cuối hoàn toán đúng, mà sao anh ra được cái này vậy.

[Dung Du Duong]

Em thấy đoạn cuối hoàn toán đúng, mà sao anh ra được cái này vậy.

Ban đầu mình cx nghĩ là đúng,cách rất là hay, nhưng mà khi tính lại vài lần thì phân tích nhân tử lại ra như thế, có thể là mình nhầm chăng!