Chủ đề này có 1 trả lời

[bonna]

Cho a,b,c dương thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2+2abc=1$

CMR: a)$a+b+c\leq \frac{3}{2}$

b)$ab+bc+ca\leq \frac{1}{2}+2abc$

[khanghaxuan]

b. $ab+bc+ca\leq \frac{1}{2}+2abc\Rightarrow \frac{1}{2}+2abc-\sum ab\geq 0 (*)$

Đặt : $\left\{\begin{matrix} a=cos A & & \\ b=cos B & & \\ c=cos C & & \end{matrix}\right.$

Giả sử $A=max\begin{Bmatrix} A,B,C \end{Bmatrix}$ nên $60\leq A\leq 90$  (vì $a,b,c\geq 0$)

Ta có : 

$VT(*)=\frac{1}{2}(2cos A-1)(cos(B-C)-1)+2cosAcos \frac{B+C}{2}(1-cos \frac{B-C}{2})+(2sin \frac{A}{2}-1)^{2}(\frac{1}{2}-(sin \frac{A}{2})^{2})\geq 0$

Dấu '' = '' xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} A=90^{0} & \\ B=C=45^{0} & \end{matrix}\right.$

                          hoặc : $A=B=C=60^{0}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 11-05-2015 - 21:00