Chủ đề này có 2 trả lời

[Dung Du Duong]

Cho a,b,c > 0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. CMR:

$\sum \sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}} \leqslant \sqrt{3}$

[lahantaithe99]

 

Cho a,b,c > 0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. CMR:

$\sum \sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}} \leqslant \sqrt{3}$

 

 

 

Đặt biểu thức vế trái là $A$ . Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz kết hợp với những BĐT sau:

 

1. $a+b+c\leq a^2+b^2+c^2=3$

 

2. $(a^2+b+c)(1+b+c)\geq (a+b+c)^2$ ta có

 

$A^2\leq (a+b+c)\left [ \sum \frac{a}{a^2+b+c} \right ]\leq (a+b+c)\left [ \sum \frac{a(1+b+c)}{(a+b+c)^2} \right ]$

 

$\Leftrightarrow A^2\leq \frac{a+b+c+2(ab+bc+ac)}{a+b+c}\leq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}=a+b+c\leq 3$

 

$\rightarrow A\leq \sqrt{3}$ (đpcm)

[25 minutes]

 

Cho a,b,c > 0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. CMR:

$\sum \sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}} \leqslant \sqrt{3}$

 

 

 

Cho a,b,c > 0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. CMR:

$\sum \sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}} \leqslant \sqrt{3}$

 

Sử dụng Cauchy-Schwarzt ta có 

  $(a^2+b+c)(1+b+c)\geqslant (a+b+c)^2$

$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a^2}{a^2+b+c}}\leqslant \frac{\sum a\sqrt{1+b+c}}{a+b+c}$

Lại có $\sum a\sqrt{1+b+c}=\sum \sqrt{a}.\sqrt{a+ab+ac}\leqslant \sqrt{(a+b+c)[a+b+c+2(ab+bc+ca)]}$

Ta chỉ cần chứng minh 

  $\sqrt{(a+b+c)[a+b+c+2(ab+bc+ca)]}\leqslant \sqrt{3}(a+b+c)$

$\Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)\leqslant 2(a+b+c)$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\leqslant 3+2(a+b+c)$

$\Leftrightarrow (a+b+c-3)(a+b+c+1)\leqslant 0$

Vậy ta có đpcm