Cho a,b,c > 0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. CMR:
CMR: $\sum \sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}} \leqslant \sqrt{3}$
#1
Đã gửi 11-05-2015 - 19:51
- hoangmanhquan, nhungvienkimcuong và 30 minutes thích
#2
Đã gửi 11-05-2015 - 20:13
Cho a,b,c > 0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. CMR:
$\sum \sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}} \leqslant \sqrt{3}$
Đặt biểu thức vế trái là $A$ . Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz kết hợp với những BĐT sau:
1. $a+b+c\leq a^2+b^2+c^2=3$
2. $(a^2+b+c)(1+b+c)\geq (a+b+c)^2$ ta có
$A^2\leq (a+b+c)\left [ \sum \frac{a}{a^2+b+c} \right ]\leq (a+b+c)\left [ \sum \frac{a(1+b+c)}{(a+b+c)^2} \right ]$
$\Leftrightarrow A^2\leq \frac{a+b+c+2(ab+bc+ac)}{a+b+c}\leq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}=a+b+c\leq 3$
$\rightarrow A\leq \sqrt{3}$ (đpcm)
- Supermath98, nguyenhongsonk612, Dung Du Duong và 2 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 11-05-2015 - 20:14
Cho a,b,c > 0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. CMR:
$\sum \sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}} \leqslant \sqrt{3}$
Cho a,b,c > 0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. CMR:
$\sum \sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}} \leqslant \sqrt{3}$
Sử dụng Cauchy-Schwarzt ta có
$(a^2+b+c)(1+b+c)\geqslant (a+b+c)^2$
$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a^2}{a^2+b+c}}\leqslant \frac{\sum a\sqrt{1+b+c}}{a+b+c}$
Lại có $\sum a\sqrt{1+b+c}=\sum \sqrt{a}.\sqrt{a+ab+ac}\leqslant \sqrt{(a+b+c)[a+b+c+2(ab+bc+ca)]}$
Ta chỉ cần chứng minh
$\sqrt{(a+b+c)[a+b+c+2(ab+bc+ca)]}\leqslant \sqrt{3}(a+b+c)$
$\Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)\leqslant 2(a+b+c)$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\leqslant 3+2(a+b+c)$
$\Leftrightarrow (a+b+c-3)(a+b+c+1)\leqslant 0$
Vậy ta có đpcm
- Supermath98, Viet Hoang 99, firetiger06 và 1 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh